[物理]量子力学的态和表象01.ppt

第五章 态和力学量表象 ;§0 引言－S绘景与H绘景;薛定厄绘景：波函数（态）随时间变化。力学量的平均值及几率分布随时间的变化，全归于波函数随时间的变化。而力学量(算符）本身却不随时间而变化。;（一）动量表象 （二）力学量表象 （三）讨论;在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。;|C(p,t)| 2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在 p → p + d p 范围内的几率。;若Ψ(x,t) 描写的态是具有确定动量 p’ 的自由粒子态，即：;那末，在任一力学量Q表象中， Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢？;（1）具有分立本征值的情况;共轭矩阵;（2）含有连续本征值情况;;波函数;（一）力学量算符的矩阵表示 （二）Q 表象中力学量算符 F 的性质 （三）Q 有连续本征值的情况;坐标表象：;Q表象的表达方式;写成 矩阵;（1）力学量算符用厄密矩阵表示;（2）力学量算符在自身表象中的形式;（1）只有连续本征值;求坐标表象中 F的矩阵元;（一）平均值公式 （二）本征方程 （三）Schrodinger方程的矩阵形式;坐标表象平均值公式;写成矩阵形式;例1： ? 本征函数 um(x) 在自身表象中的矩阵表示。;取λ= ?代入本征方程得：;写 到 Q 表 象;作 业;;;;;;§4 Dirac 符号;前四章给出的都是 X - 表象中的形式， 本章中给出了任一力学量 Q-表象中的形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量， 而不用具体坐标系中的分量(Ax, Ay, Az)表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由 Dirac 首先引用的， 所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。;（1）右矢空间;（2）左矢空间;（3）伴矢量|ψ 和 ψ |的关系;本征态的正交归 一化条件可写为：;对于连续谱 |q ，q 取连续值，任一状态 |ψ 展开式为：;投影算符;(1) 右矢空间;平均值公式;例：力学量算符 x 在动量中的形式;（1）X 表象描述与 Dirac 符号;（一）引?? （二）H - F 定理 （三）实例; 关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数 Hellmann - Feynman 定理（简称 H-F定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。;设体系的 Hamilton 量 H 中含有某参量 λ，En 是 H的本征值，ψn 是归一的束缚态本征函数（n 为一组量子数），则;（1）证明一维谐振子 V = p2 / 2μ。;方法 II;（2）对类氢离子任何一个束缚态ψnlm ，求 1/r , ;（3）证明维里定理;（3）证明维里定理;（4）对类氢原子定态，证明：;（一）算符 a, a+, N. （二）占有数表象;本节我们从新的角度讨论这一问题，引进占有数表象。;证;（3）用算符a, a+ 表示振子Hamilton量;（4） a, a+, N 的物理意义;用产生算符 a+ 表示的振子基矢;以 |n 为基矢的表象称为占有数表象;（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵 （二）波函数和算符的变换关系 （三）么正变换的性质;（1）么正变换矩阵;写成矩阵形式;（3）如何求么正变换矩阵;在 A 表象中，B 的本征基矢可表示为：;（1）波函数变换关系;（2）算符 F 的变换关系;（1）么正变换不改变算符的本征值;例：设在 A 表象中对易关系：;;;;;;;;;;;;