环的同态、最大理想.pptVIP

近世代数 第三章 环与域 §5 环的同态、最大理想 一、环同态的定义与性质 定理1 问：同态环有无零因子传递吗？ 定理3 定理4（环的挖补定理） 例4 二、环同态基本定理 例5 三、最大理想 引理 练习： 求Z12的全部最大理想. 定义1 设 是两个环, 是集合 的映射.如果对任意的 ,有 ，则称 为环 的一个同态. 为满映射,则称 为满同态, ,并称 同态. 既是单映射又是满映射,则称 为同构，记作 ,并称 同构. 如果 记作 如果 若 与 是各有两个代数运算的系统， ，则当 是环时， 也是环. 定理2 若 是环，且 ，则 (4)当 是交换环时， 也是交换环； 是有单位元环时， 也是有 与 (5)当 单位元环时，且 且 例1 为4阶循环环，即 ，且 . 有零因子， 无. 例2 做成环. 的零元是 ，而 ，故 有零因子, 无. 注：同态环有无零因子不具传递性； 同态环性质不完全传递； 但是同构环性质完全相同. 若 与 是环，且 ，则 是无零因子环（整环、除环、域） 是无零因子环（整环、除环、域） 设 为环 的子环，且 与环 同构， ，又若 ，即 与 在 里的余集无公共元素，则存在 ,使 ， 即 环 证明: 令 令 规定 运算 设环 又令 定理 5 （ 定义2 设 为环 的同态,称集合 为同态 的核. ） 定理6（环同态基本定理）设 为环 的同态满射,则 （ 定理7 子环与理想在同态满射之下不变. ） 一个环 R 的一个不等于 R 除了 R 同 I 自己以外， 没有包含 I 的理想. 定义3： 的理想 I 叫做 一个最大理想，假如， 例6： 求整数环的所有最大理想. 所有理想： 是最大理想 是素数. 引理1：假定 I≠R 是环 R 的理想， I是最大理想. 剩余类环R/I只有平凡理想 引理2：如果一个有单位元的交换环R 只有平凡理想， 那么R一定是一个域. 定理8：假定R是一个有单位元的交换环， I是最大理想。 I是R的一个理想，则 R/I是一个域 定理9： 是域 是素数. * *