[理化生]机械振动第6章第5、6节.ppt

* ●从前面讨论可以看到，一些简单情形下的振型函数是三角函数，它们的正交性是自然的。 ●同有限自由度系统一样，连续系统也存在固有振型的正交性这一重要的特性。 ●而在另一些情形下得到的振型函数还包含双曲函数，它们的正交性以及更一般情形下振型函数的正交性尚待进一步说明。 6.5 振型函数的正交性 设Yr(x)和Ys(x)分别代表对应于r阶和s阶固有频率?r和?s的两个不同阶的振型函数。它们必然满足方程(6.4-15)，即 (6.5-1) (6.5-2) 下面仅以梁的弯曲振动的振型函数论证其正交性。 (6.5-3) 用Ys(x)乘方程(6.5-1)，并在梁全长上进行积分，得 用Yr(x)乘方程(6.5-2)，并在梁全长上进行积分，得 (6.5-4) 将上面两式相减得 (6.5-5) 实际上，式(6.5-5)右边是x=0和x=L的端点边界条件。对于固支端、铰支端和自由端的任一组合而成的梁，上式右边都等于零。 因此，方程(6.5-5)可以化为 (6.5-6) 按照假设，Yr(x)和Ys(x)是对应于不同固有频率的振型函数(r?s，?r??s)，由此得出 (6.5-7) 所以振型函数Yr(x)和Ys(x)对于质量?(x)A(x)是正交的，这也就是简单支承条件下梁的振型函数对于质量的正交条件。 另一方面，考虑振型函数对于刚度EJ(x)的正交性。为此，把方程(6.5-7)代入方程(6.5-3)，得 (6.5-8) 对于固支端、铰支端和自由端的任一组合的梁，振型函数对于刚度EJ(x)的正交条件可用更方便的形式表示，即 (6.5-9) 由此可见，梁弯曲振动的振型函数这种关于刚度EJ(x)的正交性，实际上是振型函数的二阶导数所具有的正交性。 当r=s时，式(6.5-5)自然满足，而积分式(6.5-7)在一般情况下是一个正值，据此可以进行振型函数的正则化，取Yr(x)和Ys(x)为正则振型函数，则有 式中?rs为克朗尼格?符号。 如果按式(6.5-9)对振型函数进行了正则化，则从方程(6.5-3)可得 (6.5-10) (6.5-11) 当梁在x=L处具有刚度为k的弹性支承时，边界条件为 将式(6.5-12)代入式(6.5-5)和式(6.5-3)得 (6.5-12) (6.5-13) (6.5-14) 又当梁在x=L处具有附加质量时，边界条件为 将式(6.5-15)代入式(6.5-5) 和式(6.5-3)得 (6.5-15) (6.5-16) 由此可见，在弹性支承端情形与附加质量端情形，其振型函数的正交性分别由式(6.5-13)、式(6.5-14)和式(6.5-16)、式(6.5-17)表示。 (6.5-17) ●在第五章中讨论了离散系统的响应时采用了振型叠加法。 ●利用系统的振型矩阵进行坐标变换，可以将系统相互耦合的物理坐标运动方程变换成解耦的固有坐标运动方程，从而使多自由度系统的响应分析问题可以按多个单自由度系统的问题分别加以处理。 ●对于具有无限多个自由度的连续系统，也可以用类似的方法来分析系统的响应。 6.6 连续系统的响应·振型叠加法 ●只要把连续系统的位移表示成振型函数的级数，利用振型函数的正交性，就可以将系统的物理坐标的偏微分方程变换成一系列固有坐标的二阶常微分方程组。 ●就可以按一系列单自由度系统的形式来处理，可以方便地得出系统对初始激励、外部激励或既有初始激励又有外部激励的响应。 以梁的弯曲振动为例说明振型叠加法在连续系统中的应用。 设有弯曲刚度为EJ(x)，单位体积质量为?(x)，横截面积为A(x)的梁，在分布载荷f(x,t)的作用下作弯曲振动。 梁的弯曲振动的微分方程为 这个非齐次偏微分方程的全解同样包含两部分：一部分是对应于齐次方程的通解，相当于自由振动的解；另一部分是对应于非齐次项的特解，在给定激励函数f(x,t)后，可求得激励的响应。 (6.6-1) 设在给定的边界条件下的固有频率为?r，相应的振型函数为Yr(x)，引进正则坐标qr(t)，根据振型叠加法，可将方程(6.6-1)和给定边界条件的解y(x,t)变换为 (6.6-2) 将式(6.6-2)代入方程(6.6-1)，得 (6.6-3) (6.6-4) 方程(6.6-3)两边同乘以Ys(x)，在整个区间(0xL)内积分，并考虑正交条件式(6.5-10)和式(6.5-11)，得独立的常微分方程组为 (6.6-5) 式中 Qr(t)定义为对应于广义坐标(正则坐标)qr(t)的广义力。 方程(6.6-4)和受外部激励的无阻尼单自由度系统的运动微分方程的形式完全相同，故其响应可写成如下的一般形式