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*/23 微积分 六 微 积 分 电 子 教 案 a b x y o 一、主要内容 二、主要例题 第六章 定积分 一、理论内容 1、定积分的定义、几何意义 表示曲线y=f(x)与直线x=a，x=b以及x轴所围曲边梯形在x轴上方的部分面积取正号，在x轴下方的部分面积取负号. 2、定积分的性质 性质1 性质2 在 上连续是定积分 存在的( )条件 例1 （05） A充分; B必要; C充要; D既不充分也不必要 A 性质4 (保序性) 注： 性质3(区间可加性) 性质6（定积分中值定理） 性质5(估值定理) 在 上连续且单调减少,证明当 时,有 例2 设 在 上连续且单调减少 解: 3、微积分基本定理 若f(x)在区间[a,b]上连续, 则积分上限函数 dt t f x x a ò = F ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x f dt t f dx d x x a = = F ￠ ò ) ( b x a ￡ ￡ 在[a,b]上可导，且它的导数是 例3 设 （05） ，其中f连续，则 （ ） C 例4 求极限 （06） 例4 计算 （07） 4、牛顿——莱布尼兹公式 (微积分基本公式)　若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 二、定积分的计算（求原函数类同不定积分） 1、直接积分法（不定积分基本公式） 2、换元法 设f(x)在[a,b]上连续,函数x=j(t)满足: 　　⑴j(t)在[a,b]上连续、单调,且j(a)=a, j(b)=b; 　　⑵ j’(t)在[a,b]上连续. 则有 dt t t f dx x f b a ò ò ￠ = b a j j ) ( )] ( [ ) ( 3、分部积分法 例5 求积分 （05） 例6 设 （05） 例7 计算 （05） 解： 例8 计算 （06） 解： 例9 计算 （06） 例10 计算 （07） 例11 若 是 的一个原函数，则 （08） 三、定积分的应用 1、定积分的微元法 2、平面图形面积 3、旋转体体积 4、经济应用 由经济量的边际函数求总量函数或某区间上的总量 例12 在曲线 上求一点P，使过P点的切线与该曲线及x=0、x=2所围成的平面图形的面积最小。 过P 点的切线方程： （05）