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[理学]06集合代数
第6章 集合代数 本章说明 引言 集合论 集合论是现代数学的基础,几乎与现代数学的各个分支都有着密切联系,并且渗透到所有科技领域,是不可缺少的数学工具和表达语言。 集合论的起源可以追溯到16世纪末期,为了追寻微积分的坚实基础,开始时,人们仅进行了有关数集的研究。1976~1983年,康托尔(Georg Cantor)发表了一系列有关集合论研究的文章,奠定了集合论的深厚基础,以后策墨罗(Zermelo)在1904~1908年列出了第一个集合论的公理系统,并逐步形成公理化集合论。 集合论 我们这里学习集合论,更是因为计算机科学及其应用的研究也和集合论有着极其密切的关系。集合不仅可以表示数、而且还可以象数一样进行运算,更可以用于非数值信息的表示和处理,如数据的增加、删除、排序以及数据间关系的描述;有些很难用传统的数值计算来处理,但可以用集合运算来处理。因此,集合论在程序语言、数据结构、编译原理、数据库与知识库、形式语言和人工智能等领域都得到了广泛的应用,并且还得到了发展。 本章对集合论本身及其公理化系统不作深入探讨,主要是介绍集合、子集的基本概念及相关性质;集合间的各种运算和它们满足的运算性质; 内容提要 本章学习要求 6.1 集合的基本概念 集合(Set)是不能精确定义的基本概念。 所谓集合,是指我们无意中或思想中将一些确定的、彼此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体叫做该集合的元素。(康托) 直观地说,把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合,而这些事物就是这个集合的元素或成员。 例如: 方程x2-1=0的实数解集合: 26个英文字母的集合; 坐标平面上所有点的集合; … … 集合通常用大写的英文字母来标记。 常见的数的集合(固定的符号) 集合的表示方法 表示一个集合的方法主要有两种:列元素法和谓词表示法。 列元素法(roster)是列出集合的所有元素,元素之间用逗号隔开,并把它们用花括号括起来。 A={a,b,c,…,z} Z={0,±1,±2,…} C={桌子,灯泡,老虎,自然数} 谓词表示法(defining predicate)是用谓词来概括集合中元素的属性。 A={x|P(x)} B={x|x∈R∧x2-1=0} 许多集合可以用两种方法来表示,如B也可以写成{-1,1}。但是有些集合不可以用列元素法表示,如实数集合。 集合的元素 集合的元素是彼此不同的,如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元素。 例如:{1,1,2,2,3}={1,2,3} 集合的元素是无序的。 例如:{1,2,3}={3,1,2} 在本书所采用的体系中规定:集合的元素都是集合。 元素和集合之间的关系 元素和集合之间的关系是隶属关系,即属于或不属于,属于记作∈,不属于记作?。 例如:A={a,{b,c},d,{{d}}} a∈A,{b,c}∈A,d∈A,{{d}}∈A, b?A,{d}?A。 b和{d}是A的元素的元素。 可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关系。 子集(subset) 定义6.1 设A,B为集合,如果B中的每个元素都是A中的元素,则称B是A的子集合,简称子集。这时也称B被A包含,或A包含B,记作 B?A。 包含的符号化表示为 B?A ? ?x(x∈B→x∈A) 隶属和包含的说明 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系,对于某些集合可以同时成立这两种关系。 例如 A={a,{a}}和{a} 既有{a}∈A,又有{a}?A。 前者把它们看成是不同层次上的两个集合, 后者把它们看成是同一层次上的两个集合。 集合相等(equal) 定义6.2 设A,B为集合,如果 A?B 且 B?A,则称A与B相等,记作A=B。 相等的符号化表示为: A=B ? A?B ∧ B?A 如果A与B不相等,则记作A≠B。 真子集 定义6.3 设A,B为集合,如果 B?A 且 B≠A,则称B是A的真子集,记作B?A。 真子集的符号化表示为 B?A ? B?A ∧ B≠A 如果B不是A的真子集,则记作B ? A。 例如:N ? N 空集(empty set) 定义6.4 不含任何元素的集合叫做空集,记作?。 空集的符号化表示为: ?={x|x≠x}。 例如: {x|x∈R∧x2+1=0} 是方程x2+1=0的实数解集,因为该方程无实数解,所以是空集。 空集的性质 推论 空集是唯一的。 证明:假设存在空集?1和?2,由定理6.1有 ?1 ? ?2 , ?2 ? ?1。 根据集合相等的定义,有 ?1= ?2。 n元集 含有n个元素的集合简称n元集,它的含有m(m≤n)个元素的子集叫做它的m元子集。 例6.1 A={1,2,3},将A的子集分类: 幂集 ( pow
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