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[理学]11-1北大大一高数
无穷级数 一、问题的提出 二、级数的概念 三、基本性质 四、收敛的必要条件 五、小结 * 1. 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 1. 级数的定义: (常数项)无穷级数 一般项 部分和数列 级数的部分和 2. 级数的收敛与发散: 余项 无穷级数收敛性举例:Koch雪花. 做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形.如此 类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”. 观察雪花分形过程 第一次分叉: 依次类推 播放 周长为 面积为 第 次分叉: 于是有 结论:雪花的周长是无界的,而面积有界. 雪花的面积存在极限(收敛). 解 收敛 发散 发散 发散 综上 解 已知级数为等比级数, 解 解 等比级数 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 解 证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 证明 注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 证明 级数收敛的必要条件: 注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 发散 2.必要条件不充分. 讨论 8项 4项 2项 2项 项 由性质4推论,调和级数发散. 常数项级数的基本概念 基本审敛法 思考题 思考题解答 能.由柯西审敛原理即知. 练习题
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