[理学]11-6 傅立叶级数.ppt

第六节 一、三角级数 三角函数系的正交性 2. 研究意义 3. 函数展开成三角级数的基本问题 4. 三角函数系的正交性 定理1 二、以2? 为周期的函数的傅里叶级数 证 2. 傅里叶系数 3. 傅里叶级数 定理11.15 (收敛定理, 展开定理) 例1 5. 展开步骤 例2 例3 注 三、正弦级数和余弦级数 例4 例5 内容小结 备用题例2-1 2. 奇、偶函数(周期:2? )的傅里叶级数 定理3 周期为 2? 的奇(偶)函数f (x), 为正(余)弦级数, 傅里叶系数为 ( 1. 定义 正(余)弦级数: 其傅里叶级数 ) 解 将f(x)展成傅里叶级数 . 设 f (x) 以 2? 为周期 , 上的表达式为 f(x)为偶函数(如图), 可展成余弦级数. 当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得 求数项级数的和. 函数展开成傅里叶级数的应用： 注 解 设 已知 1. 函数(周期: 2?)的傅里叶展开: 其中 注 若 为间断点, 则级数收敛于 2. 周期为 2? 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数 正弦级数 偶函数 余弦级数 3. 三角级数与幂级数的特点对照. 收敛域 展开条件 计算 周期性 幂级数 三角级数 项目 有 无 繁 简 弱(比连续弱) 强( f (n)(x)存在) 区间(简) 大(复杂) f (x)＝x , 将 f (x) 展成傅里叶级数. 设 f(x) 以2? 为周期, 解 不计 奇函数. 上的表达式为 周期为2? 的 * 傅里叶级数 第十一章 一、三角级数 三角函数系的正交性 二、以2π为周期的函数的傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 1. 三角级数 —— 三角级数 ( A: 振幅, 复杂周期运动 : ? :角频率, φ: 初相 ) (谐波迭加) 简单周期运动 : (1) 物理背景 (2) 回顾 优点： 缺点： 易于计算 an = ?, bn = ? 展开式是否唯一? (2) 在什么条件下才能展开成三角级数? (3) 三角级数的收敛域? 展开式成立的范围？ 定义 (正交函数系) 正交函数系. 三角函数系 证 类似地，得 上的积分不等于 0 . 三角函数系中任两相同函数的乘积在 注 1° 2° 正交性: 1. 函数展开成三角级数的形式 定理2 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 若 唯一的, 且 ——— 傅里叶系数 对(6.3)逐项积分, 得 由正交性, 值为零 (6.3) ? cosnx, 再积分 由正交性, (6.3) ? sinnx, 再积分 或 (6.4) 定义 (傅里叶级数) 问题: 条件？ 其中 设以2?为周期的函数 f (x) 满足狄利克雷条件: 1) 连续，或最多只有有限个第一类间断点; 2) 最多只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数在(-?,+ ?)处处收敛 , 且 在一个周期内 4. 函数展开成傅里叶级数的充分条件 注 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多. x 为f (x)的间断点 x 为f (x)的连续点 解 O -1 -?-1 2 -? ? -2? -3? 2? O -1 -?-1 2 -? ? -2? -3? 2? O -1 -?-1 2 -? ? -2? -3? 2? -3? O -1 -?-1 2 -? ? -2? 2? 上的表达式为 将 f (x) 展成傅里叶级数. 解 设 f (x) 以 2? 为周期 , 3o 所求函数的傅里叶展开式为： 设 f (x) 以 2? 为周期 , 上的表达式为 解 将 f (x) 展成傅里叶级数. 奇函数 偶函数 an=0 正弦波的叠加傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图. 矩形波是无穷多 * * * * *