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[理学]121常数项级数的概念和性质

性质4 设级数 收敛, 则对其各项任意加括号所得 新级数仍收敛,且收敛于原级数的和. ①一个级数加括号后所得新级数发散,则 注 原级数 事实上, 加括后的级数就应该收敛了. 设原来的级数收敛, 则根据性 质4, 收敛 发散 ②一个级数加括号后收敛, 原级数 发散. 敛散性不确定. (级数收敛的必要条件) 性质5 收敛级数的一般项趋于零,即 的部分和为 且 证 则 注 ① 级数收敛的必要条件, 常用判别级数发散; 如 调和级数 ②逆命题不成立. 但级数是否收敛 性质5 收敛级数的一般项趋于零。 一般项趋于零时,级数可能收敛也可能发散 是否收敛? 讨论 调和级数 假设级数收敛于s, 部分和为sn,明显: 所以 由于 一定发散 不可能以零为极限. 矛盾! 常用! 例 判别下列级数的敛散性 解 由于 发散 解 由于 发散 解 而级数 所以这个等比级数 发散. 由性质2知, 由性质1知, 发散. 因调和级数 发散, 为公比的等比级数, 是以 收敛. 判断题 错 错 正确 练习 (4) 收敛级数改变前100项得到的新级数可能收敛也可能发散。 (5) 添加或者去掉级数的项不会影响级数的敛散性。 (6) 级数加括号后收敛,则原级数必收敛。 (7) 级数加括号后发散,则原级数必发散。 (8) 收敛级数加括号必收敛。 错 正确 错 正确 错 * The class has already begun! 铛!铛!铛! …… 第十二章 无穷级数 1+2+3+4=10 ★ 问题1: ★ 一般的,有限个函数的和仍然是函数,但是无限个函数的和呢? 问题2: 问题3: 有限个连续函数的和仍然是连续函数,那么如果无限个连续函数的和仍然是函数,是不是仍然连续? 本章的级数理论,主要是考虑如上的一些在有限和的情况下成立的结论,在无限和的情况下是否仍然成立,即无穷级数的收敛性问题。 在自然科学和工程技术中,也常用无穷级数来分析问题。 在积分运算和微分方程求解时,也经常使用到无穷级数。 常数项级数的概念 收敛级数的基本性质 第一节 常数项级数的概念和性质 人们认识事物在数量方面的特性,往往有一个 由近似到精确的过程,在这种过程中,会遇到由 有限到无穷多个数量相加的问题。 例 计算圆面积 方法:以圆内接正多边形的面积 近似表示圆面积。 一、常数项级数的概念 内接正六边形面积为 内接正十二边形面积为 为6个等腰三角形面积) 内接正二十四边形面积为 内接正 边形面积为 圆面积 无穷多个数量依次相加。 1. 级数的定义 (常数项)无穷级数 一般项 如 问题:这种表达式是什么意思? (1) 给定一个数列 这样, 级数对应一个部分和数列{sn}: 称无穷级数的 2. 级数的收敛与发散概念 按通常的加法运算一项一项的加下去, 为级数的 也算不完, 永远 那么级数的结果是什么呢? 前n项和 部分和. 含义是什么? 给定级数就可以决定{sn},反之一样. 明显: 级数是不是表示一个数,等价于部分和数列{sn}是不是存在极限! 定义 则称无穷级数 并写成 即 常数项级数收敛 (发散). (不存在) 存在 这种等价关系将级数的敛散性,转化为 数列极限是否存在的问题。 它是最基本的级数敛散性的判断方法。 级数的敛散性它与部分和数列是否有 极限是等价的. (1) 对收敛级数(1), 为级数(1)的余项或余和. 显然有 当n充分大时, (1) 称差 误差为 例 而 所以, 的部分和 级数 级数发散. 解 例 讨论等比级数(几何级数) 的收敛性. 级数收敛 级数发散 级数发散 级数发散 综上 级数变为 以后会经常用到,必须记住! 讨论级数 的敛散性. 解 例 因为 为公比的等比级数, 是以 故 级数 收敛. 发散. 解 例 判定级数 的收敛性. 即 判定级数 的收敛性. 练习 级数收敛, 且其和为1. 的部分和分别为 则 于是 证 性质1 若 收敛于s, 二、收敛级数的基本性质 则 收敛于ks. = + + + ) ( 2 1 n u u u k L 得证. 也不存在极限. 性质1 若 收敛于s, 则 收敛于ks. 由 知, 结论1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 即 时,数列 的敛散性相同. 所以 时,级数 的敛散性相同. 结论2:收敛级数对非零乘数的分配律成立. 性质2 设有两个级数 证 所以 级数的部分和 结论: 收敛级数逐项相加减后保持收敛性. 得证. 例 都收敛. 性质2 设有两

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