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[理学]2 矩阵及其运算ppt
(5) 设A为n阶方阵, 若A的分块矩阵只有在主对角线 上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非零子块都是 方阵,即 则称A为分块对角矩阵, 分块对角矩阵具有性质: (a) |A|=|A1||A2|…|As| (b) 例9 设 求A-1。 解 因为A是分块对角矩阵, 所以 例10 设 求A-1。 解 对A进行分块, 即 则有 . 所以有 记 X11+A1X21=E , X12+A1X22=0, A2X21=0, A2X22=E 解得 所以有 例11 证明 设A是m?n矩阵, B是n?m矩阵. 其中An, Bn都是n阶方阵. 于是有 所以有 设AB=E, BA=E, 则A是方阵, 且可逆, A-1=B. 如果mn, 作分块 AnBn=En , AnBm-n=0, Am-nBn=0, Am-nBm-n=Em-n 矛盾. 故应有m?n. 同理可得n?m. 于是m=n. 即A, B都是方阵, 于是A可逆, 且其逆矩阵为B. 作 业 习题A 第48页 7(1) (2)、8、10、11、 12、16、17 、18、19 §4 初等变换与初等矩阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算,它在线性代数中有着极其广泛的应用。 定义2.3 对矩阵作下列三种类型的变换分别称为第一, 第二, 第三种初等行(列)变换: 1. 互换矩阵的某两行(列); 2. 某行(列)乘以非零常数; 3. 某行(列)的倍数加到另一行(列). 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换. 当矩阵A经过初等变换变为B时, 记为A?B. 若强调变换的具体做法, 对行(row)的表示为: ri?rj 表示互换第i, j 两行 类似地, 初等列(column)变换分别表示为 易见, 各种初等变换都是可逆的, 且逆变换也是同类型的初等变换。 kri 表示第i行乘以k?0 ri+krj 表示第j行的k倍加到第i行. ci?cj 表示互换第i, j 两列 kci 表示第i列乘以k?0 ci+kcj 表示第j列的k倍加到第i列. 例12 设 解 对A做初等变换将其简化. 例12 设 解 对A做初等变换将其简化. 定义2.4 对单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 初等矩阵有如下三种类型 可见, 可见, 可见, 定理2.3 对矩阵A作一次初等行(列)变换得到的矩阵等于对A左(右)乘上一个相应的初等矩阵。 实际上, 初等矩阵只有三种类型, 我们分别对A作如下形式的分块 * 第二章 矩 阵 矩阵是线性代数中一个重要的数学概念,在线性代数中起着极其重要的作用,本章将引进矩阵的概念,并讨论矩阵和线性变换的关系,以及矩阵的运算。重点是逆矩阵的计算和矩阵方程的求解。 §1 矩阵的概念及其基本运算 定义2.1 由m×n个数aij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)组成的m行n列的数表 称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵,记为: 组成矩阵的这m×n个数称为矩阵A的元素, aij称为矩阵A的第i行第j列元素, 矩阵A也简记为(aij)或(aij) m×n或A m×n 。 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素为复数的矩阵称为复矩阵,本课除特殊说明外都讨论实矩阵。 下面介绍矩阵的基本关系及运算 一、相等 设有两个矩阵A=(aij)m×n, B=(bij)s×t, 如果m=s, n=t, aij=bij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n), 则称矩阵A与B相等, 记为A=B. 两个矩阵相等, 是指两个矩阵完全一样, 即阶数相同而且对应的元素完全相等. 二、加法 设A=(aij)m×n, B=(bij)m×n,
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