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第讲 函数 ，设它的定义域为，值域为。如果对中任意一个值，在定义域中都有唯一确定的值与它对应，使成立，这样得到的关于的函数叫做的反函数，记为。习惯上，自变量常用表示，而函数用表示，所以把它改写成为。 【析】 （1） 反函数的存在性问题：不是所有的函数都存在反函数；一个函数具有反函数的充要条件是确定这个函数的对应是从定义域到值域上的一一对应； ①单调函数必有反函数（但存在反函数的函数不一定是单调函数），且函数与其反函数在各自的对应区间上的单调性一致； ②奇函数不一定存在反函数，但奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； ③偶函数也可能有反函数，如： （2） 求反函数的基本步骤（三部曲）： ①反求：通过解方程，得，即把用表示出来； ②交换：交换的位置，即把改写成； ③求域：指出或求出反函数的定义域。 ⒉反函数的性质 （1）原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域； （2）函数的图像与它的反函数的图像关于直线对称。 【析】①原函数过点，则其反函数过点，即 ②设函数存在反函数，则 ③函数和函数的图像是同一图像；函数和函数的图像关于直线对称 ④反函数为其本身的函数称为自反函数，自反函数具有以下性质：定义域和值域相等；的图像关于直线对称。 【学习目标】 ⒈理解反函数的概念 ⒉会求反函数及其定义域 ⒊掌握互为反函数的图像的对称问题 ⒋能解决一些与反函数有关的问题 【典型例题】 1．的概念问题 【例1】：的定义域为M，值域为N，则函数的反函数是； （2）若函数有反函数，则一定为单调函数； （3）奇函数一定有反函数，偶函数一定没有反函数； （4）分段函数一定没有反函数. 【分析】. 【解答】有反函数，但不是单调函数； （3）不正确，如为奇函数，但没有反函数； ，为偶函数，但有反函数； （4）不正确，如分段函数有反函数. 【点评】. 2．问题 【例】； （2）； （3）； （4）. 【分析】. 【解答】， 交换得反函数：； （2）由， ∵，∴， 交换得反函数：， 又原函数在上递减，相应的， ∴反函数为； （3）当时，，∴， ∴反函数为； 当时，，∴， ∴反函数为； ∴反函数为； （4）∵， ∴， ①+②得， ∵，∴， ∴反函数为. 【点评】的取值范围而取舍，至于求分段函数的反函数时，应分别求其解析式； （3）求反函数的定义域可以通过求原函数的值域来确定. 【例】函数是互为反函数，求的值. 【分析】来求解反函数. 【解答】中交换得；又， ∴. 【点评】”是求反函数过程中的必要步骤，正确理解其涵义并合理运用，往往使运算过程简化. 3．问题 【例】在定义域上存在反函数，且.求. 【分析】. 【解答】，∴， ∴， 再由， ∴； 解法二：令，∴， ∴， 令， ，∴. 【点评】【例】的反函数的图像经过点，求的值. 【分析】. 【解答】的图像经过点， ∴，∴，再令， ，即. 【点评】．问题 【例】的值域. 【分析】. 【解答】，∴反函数， ∴函数的值域为. 【】的取值范围； （2）利用反函数的定义域来求原函数的值域的方法称为“反函数法”，但须注意，“反函数法”一般只适用原函数的定义域为自然域（即使函数表达式有意义的的取值范围）的情况。 【例】的反函数，求证：对任意正实数，都有. 【分析】. 【解答】， 又易知函数在是单调递减，且， ∴在单调递减， ∵. 【】 5．问题 【例】的图像过点，它的反函数图像也过此点，求函数 的解析式. 【分析】. 【解答】对称， ∴反函数图像过点，则原函数图像过点， 由已知得：， ∴. 【】代入，虽思路自然，但过程繁琐. 【例】的图像关于直线对称，求实数的值. 【分析】对称，即函数的反函数是其本身. 【解答】， ∴反函数为， ∵函数的图像关于直线对称， ∴函数的反函数是其本身，∴； 解法二：∵函数的图像过点， ∴它的反函数过点， 又函数的图像关于直线对称，∴函数的反函数是其本身， ∴点也在函数的图像上， ∴. 【】； （2）. 【例】，其中， 为实常数，则它在图像上反映出的类似特征是_______； （2）如果函数具有下列其中的一个性质，利用（1）的结论判断它是否一定 存在反函数？并说明理由：①