[理学]2-5 向量范数与矩阵范数.ppt

矩阵论教程A 矩阵论教程A 哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队 Department of Mathematics, College of Sciences 书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取 使用教材 《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012 其他辅导类参考书（自选） 课 程 要 求 作业要求 矩阵论网站 / 授课预计 (10学时) 1 2 3 4 第二章 内积空间与赋范线性空间 欧氏空间与酉 空 间 标准正交基与向量的正交化 正交子空间 酉(正交)变换与正交投影 5 向量范数与矩阵范数 6 向量范数与矩阵范数的相容性 教 学 内 容 和 基 本 要 求 2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构 造标准正交基； 3, 理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的 概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质； 1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念； 5, 理解谱半径的概念，掌握谱半径的相关性质； 重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补； 正交投影；酉变换；算子范数；相容性 难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与 向量范数的相容性 教 学 内 容 和 基 本 要 求 4, 理解向量范数的概念，知道常用向量范数的几何意义 及其性质；理解矩阵范数的概念，掌握算子范数，会求 常用的算子范数，并掌握矩阵范数与向量范数的相容性； 从范数可以导出向量与向量、矩阵与矩阵之间 的距离，进而引出向量序列和矩阵序列收敛的 问题。 范数集中描述了向量空间的中大小和距离的度量。 设V是数域F(R或C)上的线性空间，实值函数 称为向量范数，是指对于任意 x，y∈V，满足下列性质： 空间V称为赋范线性空间， 是V中向量x的范数，简称向量范数。 正定性 ，且 齐次性 三角形不等式 定义1 向量范数与矩阵范数 §2.5 2.5.1 向量范数的概念与性质 向量范数是定义在线性空间上的一个非负的实值函数，它具有如下的性质： 证明(4)： 另一方面， 综上有， 两个重要不等式 设 2 （Minkowski不等式）： 其中实数 。 其中 且 1 （H?lder不等式）： p=2， Cauchy-Schwarz不等式 向量空间中常用的范数 证明:只需验证(1)正定性,(2)齐次性,(3)三角不等式 例 1：设向量 ，对任意的数 为向量 的 范数。 称: 设 (1) 正定性显然。 (2) 对任意的常数 ,由实值函数的定义: (3) 由Minkowski不等式知 p≧1，可知在同一个线性空间 中，可以定义不同的向量范数。 例 2 设C[a,b]是由 [a,b]上所有连续函数f(x)所构成的集合,按照通常意义下的加法和数乘构成线性空间，如下三种映射是该空间中常用的三种范数 1-范数 p-范数 ∞-范数 利用线性空间中已知的范数构造新的范数 (1) 是 上的范数. (2) 是 上的范数. 3 设 是线性空间 上的两个向量范 数,则对于任意的 ,有: 例 证明(1)：当 时，由 ，可知 即正定性成立。 其中k1，k2为正实数。 对任意的常数k∈C，及任意的x∈V，有 即齐次性成立。 即三角不等式成立。 对任意的y∈V，有 (1)