[理学]20100421极限定理.ppt

例 计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则。为简单计，现对小数点后面第一位进行舍入运算，则可认为误差X服从[-0.5,0.5]上的均匀分布。若在一项计算中进行了100次数字计算，求平均误差落在区间 上的概率。 例 高尔顿钉板试验。常常在赌博游戏中见到，庄家在两边放置值钱的东西来吸引顾客，现在可以用中心极限定理来揭穿这个赌博中的奥秘。 复习 协方差Cov (X,Y) 相关系数ρxy 变量标准化X*，Y* 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维随机变量，除每个随机变量各自的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系。问题是用一个怎样的数去反映这种联系？？ (1) 不相关与相互独立的关系 注意点 相互独立 不相关 (2) 不相关的充要条件 特例 相关系数的意义 ——刻划X,Y之间线性关系的强弱 这里所讲的不相关，仅指不线性相关。虽然不线性相关，可能有其它的（如二次函数）非线性的函数关系。 Y的变化可由X的线性函数给出。 当X与Y完全相关时,(X,Y)可能取的值概率为1的集中在一条直线上。 完全相关 例 （相关系数的在线性回归中的应用） 设e=E[Y-(aX+b)]2, 称为用aX+b来近似Y的均方误 差，则有下列结论： 设D(X) 0, D(Y) 0, 则 使均方误差达到最小。 解得方程的唯一解： 可用均方误差e来衡量以aX+b近似表示Y的好坏程度，e值越小表示近似程度越好。 相关系数越接近1，误差越小，线性相关性越好，最佳线性近似为 4.5 协方差矩阵 矩的概念 K阶原点矩 K阶中心矩 K+l阶混合原点矩 K+l阶混合中心矩 K阶绝对原点矩 K阶绝对中心矩 X * 的4阶原点矩 随机变量 X 的标准化随机变量 称为 X 的偏度 称为X 的峰度 例如 X *的3阶原点矩 半正定的对称矩阵，对角线元素是对应分量的方差，其余是两两协方差。 则称矩阵C为n维随机变量的协方差矩阵 = 协方差矩阵可用来表示随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对随机变量的研究。将在数理统计部分中的矩阵代数内容详细讲解。 例 设随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为 其中 为常数，求X的K阶中心矩 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象. 问题的引入 4.6 大数定律 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究。极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种是： 与 大数定理 中心极限定理 大数定理的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 当试验的次数无限增大时，事件发生的频率在某种收敛意义下逼近某一定数（事件发生的概率）——大量的随机现象中平均结果的稳定性 。大数定理对该情况从理论的高度进行了论证。 事件的频率稳定于概率，能否有 ，答案是否定的， 必须以概率的形式论证。 切比雪夫资料 Pafnuty Chebyshev 切比雪夫生于一个在俄罗斯西部的小镇Okatovo。他的家庭环境不俗。他早年有脚疾，接受家庭教育。他最早的老师是母亲和表亲，后者令他学得法语——这令他和欧洲数学界更易接触。11岁时他搬到莫斯科。当时他其中一个老师是当时最好的初等数学教师P.N.Pogorelski。1837年进入莫斯科大学数学系。1847年在圣彼得堡大学任教。1859年成为院士。他对伯努利大数定律作了严格的证明。 （1821年-1894年），俄国数学家。 机率论：切比雪夫不等式 分析：切比雪夫多项式 切比雪夫滤波器 切比雪夫总和不等式 切比雪夫Chebyshev不等式 切比雪夫不等式表明：随机变量X的方差越小，则事件 发生的概率越小，即X的取值基本上集中在它期望的附近。由此 也可看出方差刻画了随机变量取值的离散程度。 应用：3σ准则表示X取值偏离μ超过3倍均方差的概率小于0.111 (pp.113) μ+ε μ-ε μ f(x) 定理 切比雪夫Chebyshev大数定理 算术平均序列 即 依概率收敛与高等数学中的数列收敛的区别 1. 在数列中{xn}为确定性变量数列，而概率论中{Xn} 为随机变量变量数列。 2. 数列收敛要求当nN时，就有 成立， 而绝不会有 出现。 而依概率