[理学]201209第七章1.ppt

第七章 傅立叶变换 定义 若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件，令 1、单位脉冲函数的概念(数学上的定义) * 一. 傅立叶变换的概念 二. 单位脉冲函数 第一讲： 一. 傅立叶变换的概念 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如: 具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T 称作周期, 而1/T 代表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). t 最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.---- Fourier级数 方波 4个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近 1、傅里叶级数的复指数形式 傅里叶级数： 引进复数形式： 级数化为： 若令 合成一个式子 若令 则（1）式可写为 或： ------傅里叶级数的复指数形式 (2) 2.非周期函数的展开问题 对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T??时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T??时, 周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有 记， 所以， （3） 当 在一定的条件下（3）为 ------傅里叶积分公式(傅里叶积分复指数形式) 即 （4） 3.傅里叶积分定理 (4) 傅里叶积分复指数形式化为三角形式 利用欧拉公式 由奇偶性 ----傅里叶积分公式的三角表达式 ω奇函数 ω偶函数 4、傅氏变换的定义 （4） 则 （5） （6） 注： 当f(t)是偶函数时， （5） 当f(t)是奇函数时， （7） （8） 在频谱分析中, 傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数, 而它的模|F(w)|称为f (t)的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于w是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间函数f (t)作傅氏变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱. 物理意义 例 1 求矩形脉冲函数 的付氏变换及其积分表达式。 解： 1.因f(t)满足傅氏积分定理的条件，且为偶函数 上式 当 时， 2. 是 的偶函数 ， 积分表达式 是f(t)的第一类间断点，在这两点处有 附: 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则 当t?0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的. 二、单位脉冲函数 如果我们形式地计算这个导数, 则得 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数: 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决. 说明: （1）这是由狄拉克给出的一种直观的定义方式，不是严格的定义。它只是对δ函数的某种描述。 * * * *