[理学]2chapter15矩阵与行列式小结.ppt

Solution. Solution. Solution. Solution. ex9. Solution. ex10 Solution. ex11 求方阵 的逆矩阵. Solution. 同理可得 故 Solution. * Chapter 1(5) 矩阵与行列式小结 一、内容小结 2. 行列式定义和性质 3. 关于行列式的一些重要公式 1. 矩阵运算及分块矩阵的运算 4. 关于逆矩阵的一些重要结论 5. 初等变换与初等矩阵 6. 克莱姆法则 7. 注意比较 二、题型及方法 1. 行列式的计算 2. 逆矩阵的求法 3. 矩阵的秩的求法 4. 矩阵方程的解法 5. Gramer法则的应用 一、内容小结 1. 矩阵运算及分块矩阵的运算 (1) 行矩阵: 列矩阵: 方阵: 行数与列数都等于n 的矩阵A,称为n阶方阵. (2) 零矩阵 (3) 上(下)三角方阵 (4) 对角方阵 (5) 单位矩阵(方阵) (6) 矩阵A,B同型 (7) 相等矩阵 (8) 阶梯形矩阵 (9) 对称矩阵 (10) 反对称矩阵 (11) 伴随矩阵 加法： 数乘： 并把此乘积记作 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 乘法： 乘方，转置，共轭 分块矩阵也有这些运算. 注意要转置两次. 2. 行列式的定义和性质 定义 是一个算式，且 定义. 代数余子式 剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式. 推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零． 性质5　若行列式D的某一列（行）的元素都是两数之和， 则D等于下列两个行列式之和. 性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 性质7. 行列式按行（列）展开法则 性质8. Laplace定理 3. 关于行列式的一些重要公式 4. 关于逆矩阵的一些重要结论 5. 初等变换与初等矩阵 定义. 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 定义. 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 定理1. 任何矩阵A可以只用初等行变换化成阶梯形矩阵. 定理2. 任何矩阵A可以用初等变换化成标准形矩阵. 定理3. 初等变换不改变方阵的可逆性与不可逆性. 定理4. 定理5 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵. 6. 克莱姆法则 定理1. 如果线性方程组的系数行列式不等于0，则方 程组一定有解，且解是唯一的. 定理2. 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则 它的系数行列式必为0. 推论1. 如果齐次线性方程组的系数行列式 则齐次线性方程组只有唯一零解. 推论2. 如果齐次线性方程组有非零解，则它的 系数行列式 7. 注意比较 二、题型及方法 1. 行列式的计算 方法一、利用行列式的性质，或通过将行列式化为 三角行列式来计算行列式的值. 方法二、当行列式各行(列)元素之和相同时，应先 把各列(行)加到第1列(行)，提取公因式后再考虑. 方法三、根据行列式的特点，利用行列式的性质， 将行列式的某一行(列)化出尽量多的0元素，然后 由定义按该行(列)展开. 方法四、当各阶行列式具有同一结构形式时，可利 用数学归纳法计算或证明行列式的值. 方法五、先用展开或拆项等方法，将原行列式表成 低阶同型行列式的线性关系，再由递推法得出结果. 方法六、当行列式为三线非0行列式时，将其转化为 三角行列式来计算. 方法七、加边法，即在行列式值不变的情况下，加 上一行一列. 用于主对角线上元素不同，其余元素 相同(或各行其余元素成比例)的行列式. 2. 逆矩阵的求法 (1)利用定义及恒等变形得到 (用于证明题或不知道A的具体内容) (3)利用初等行变换 (4)利用分块矩阵来求逆矩阵 3. 矩阵的秩的求法 4. 矩阵方程的解法 5. Gramer法则的应用 Solution.