[理学]34 特殊函数及其应用柱函数.ppt

贝塞尔函数的母函数（生成函数） 1. 母函数（生成函数） 加法公式 利用母函数公式 二、球贝塞尔函数 解：以柱轴为 z 轴，底面为 平面，依题意定解问题表示为 用分离变数法求解定解问题，必须上下底、或柱侧面为齐次边界条件，为此令 由于在柱坐标系中 含 ，因此 z的一次函数 的调和量为零，这样定解转化为 令 ，代入泛定方程分离变数得 因 的定解条件与 无关，是轴对称定解问题，所以 常数， 。由上下底面齐次边界条件 ，该条件与 的微分方程构成本征值问题，其解为 当 、 时， 的解为 因为当 时， 、 ，所 以满足“ 有限”的解为 ，这样 由柱侧面的边界条件得 一、球坐标系波动、输运方程的分离变量 3.6 球贝塞尔方程 回顾：分离变量 1. 波动方程时空变量的分离 自由波动方程有意义的解是振荡解，要求 满足的方程称为亥姆霍兹方程 2. 输运方程时空变量的分离 无源输运方程有意义的解是收敛解，要求 为实数 满足的方程称为亥姆霍兹方程 3. 亥姆霍兹方程在球面坐标系中的分离变数 亥姆霍兹方程 令 ，代入上式得 球函数方程 l阶球贝塞尔方程 l阶球贝塞尔方程 若令 ，代入上式 阶贝塞尔方程 其通解为： l阶球贝塞尔方程的通解为 1. 定义 球贝塞尔函数： 球诺伊曼函数： 球汉克尔函数： 2.球贝塞尔方程的解 球贝塞尔方程 有两个线性独立解为 和 ，通解为 三、球贝塞尔函数的基本性质 1. 2. 递推公式 ， 或 ， 或 例1： 3. 当 时 当 时 4. 球贝塞尔函数及其导数 、 有无穷多 个正零点。 例2 的正零点为 5. 球贝塞尔函数正交关系与模方 设 是半径为 的球面上的齐次边界条件： 或 或 的第个 正根，则 称为球贝塞尔函数的模方。 第一类齐次边界条件： 第二类齐次边界条件： 第三类齐次边界条件： 6. 以球贝塞尔函数 为基的广义傅里叶级数 在区间 上，以球贝塞尔函数 为基，可把函数 展开为广义傅里叶级数。 其中 7. 平面波展开为球面波的叠加 解：以球心为球坐标系的极点，依题意定解问题可表示为 均匀球，半径为 ，初始时刻球体温度均匀为 ，把球放入温度为 的烘箱，使球面温度保 持为 。求解球内各处温度变化情况。 例3： 球面上边界条件为非齐次，必须转换为齐次，令 则 分离变数，令 ，则 因定解条件与角部变量无关，为球对称定解问题， 与 无关，因此 时， 满足球心处有限条件的解为 。由球面上的齐次边界条件得 即 当 时， ， 因此 可表示为 【注】 的另一求法 柱函数小结 本节用分离变数法研究圆柱域内无源稳定场问题、平面圆域内自由波动和无源输运问题、球域内自由波动和无源输运问题的求解方法。 一、贝塞尔函数的性质 1. 阶贝塞尔函数 、诺伊曼函数 、虚宗量贝寒尔函数 、虚宗量汉克函数 * * 3.5 贝塞尔函数 一 贝塞尔函数的引出 亥姆霍兹方程 ? 阶贝塞尔方程 二 ? 阶贝塞尔方程的解