[理学]35_线性方程组解的结构.ppt

* 3.4 线性方程组解的结构 (一) 齐次线性方程组解的结构 (二) 非齐次线性方程组解的结构 对于线性方程组 (3.1), 当 r(A b)=r(A)= rn 时，A 中不为零的 r 阶子式所含的 r 个列以外的 n-r 个列对应 的未知量称为自由未知量；当 rm 时，A 中不为零的 r 阶子式所含的 r 个行所对应的 r 个方程以外的 m-r 个方 程是多余的，可删去而不影响 (3.1) 的解。 又 r(A b)=r(A)= rn 时，(3.1) 有无穷多个解，为什 么 (3.8) 代表了它的全部解？下面我们来讨论与这一问 题有关的方程组解的结构。 (一) 齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组 (3.9) 的矩阵形式为 Ax=o 其中 (3.9) 的解有下列性质： (1) 如果 是齐次线性方程组(3.9) 的两个解，则 也是它的解。 (2) 如果 是齐次线性方程组(3.9) 的解，则 也是 它的解(c 是常数)。 (3) 如果 都是齐次线性方程组(3.9) 的解， 则其线性组合 也是它的解。其中 都是任意常数。 由此可见，如果一个齐次线性方程组有非零解， 则它就有无穷多解，这无穷多解就构成了一个 n 维 向量组。如果我们能求出这个向量组的一个极大无 关组，就能用它的线性组合来表示它的全部解。 定义3.10 如果 都是齐次线性方程组(3.9) 的解向量组的一个极大无关组，则称 是线性方程组(3.9)的一个基础解系。 定理3.13 如果齐次线性方程组 (3.9) 的系数矩阵 A 的秩数 r(A)=rn, 则方程组的基础解系存在，且每个 基础系数中，恰含 n-r 个解。 证明： 因为 r(A)=rn, 所以方程组 (3.9) 的增广矩阵 (A, o) 施以初等行变换，可化为如下的形式： 则方程组(3.9) 与下面的方程组同解 其中 为自由未知量。 对 n-r 个自由未知量分别取 可得方程组 (3.9) 的 n-r 个解。 现在来证明 就是方程组 (3.9) 的一个 基础解系。 首先证明 线性无关。 设 有 n-r 阶子式 即 r(K)=n-r . 所以 线性无关。 其次再证明方程组 (3.9) 的任意一个解 都是 的线性组合。 因为 所以 即 v 是 的线性组合。 所以 是方程组 (3.9) 的一个基础解系 因此，方程组 (3.9) 的全部解为 为任意常数 ) 即 (3.8) . 定理的证明过程给我们指出了求齐次线性方程组 的基础解系。 例1. 求如下齐次线性方程组的一个基础解系 解： 对增广矩阵 (A o) 施以如下的初等行变换： 即原方程组与下面方程组 同解，其中 为自由未知量。 让自由未知量 取值 分别得 方程组的解为 就是所给方程组的一个基础解系。 例2. 用基础解系表示如下齐次线性方程组的全部解 解： 对增广矩阵 (A o) 施以初等行变换： 因此所给方程组有无穷多解。 即原方程组与方程组 同解，其中 为自由未知量。 让自由未知量 取值 分别得方程组的解为 就是所给方程组的一个基础解系。因此， 方程组的全部解为 其中 为任意常数。 例3. 设矩阵 满足 试证 并且 证：设矩阵 其中 则 由 可得 考虑齐次线性方程组 Ax=o, 其中 不难看出，矩阵 B 的列向量 都是 方程组 Ax=o 的解向量。因为 r(A)=r, 所以方程组 Ax=o 的任一基础解系所含向量个数为 n-r 个。由 此可得 *