[理学]3_不定积分.ppt

一、函数的连续性 例3. 证明函数 二、 函数的间断点 间断点分类: 例如: 小结：对自变量的增量 三、连续函数的运算法则 定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 例如, 例4 . 四、初等函数的连续性 例5. 求 例7. 求 例8. 设 一、最值定理 推论. 定理3. ( 介值定理 ) 例9. 证明方程 例10. 设 练习 确定函数 间断点的类型. 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: 内必有方程的根 ; 取 的中点 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 二分法 在区间 内至少有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 则 上连续 , 且恒为正 , 在 对任意的 必存在一点 证: 使 令 , 则 使 故由零点定理知 , 存在 即 当 时, 取 或 , 则有 证明: 小结 目录 上页 下页 返回 结束 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 使 必存在 上有界; 在 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结：闭区间上连续函数的性质 * * 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 1.函数的增量 2.连续的定义 可见 , 函数 在点 定义2: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 证 3.单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 , 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . continue 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 都有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 内连续 . 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (6). 设 时 解: 为 连续函数. 有函数的增量 左连续 右连续 函数 在点 连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 时, 有 定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, 在 上连续单调递增， 其反函数 (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 于是 故复合函数 又如, 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是由连续函数链 因此 在 上连续 . 复合而成 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证: 根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 . 机动 目录