[理学]4 多元函数的Taylor公式与极值问题-2 工科数学分析基础.pdf

多元函数的Taylor公式与极 值问题 条件极值 Lagrange乘数法 应用举例 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 1 一、问题引入 很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义 域上自由变化, 而是要受到某些条件的约束. 例1 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试 问长、宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到 最小? 若设长、宽、高各等于x, y , z, 则 目标函数: S 2z(x +y ) +x y ; 约束条件: x yz V . 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 2 2 2 例2 设曲线 z x +y , x +y +z 1. 求此曲线上 的点到原点距离之最大、最小值. 对此问题有 2 2 2 目标函数: u x =+y +z ; 2 2 约束条件: z x +y , x +y +z 1. 还可举出很多这种带有约束条件的极值问题. 定义 设目标函数为 y f (x 1 ,x 2 , ,x n ), (x 1 ,x 2 , ,x n )=∈D ⊂Rn ; 约束条件为如下一组方程: 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 3 Φ : ϕ (x , x , , x ) 0, k 1, 2, ,m (m =n ). k 1 2 n 为简便起见, 记P (x , x , , x ), 并设 1 2 n { Ω P | P =∈D , ϕ (P ) 0, k 1, 2, , m }. k 若存在 P0 ∈Ω, δ 0, 使得 f (P 0 ) ≤f (P ) , ∀P ∈Ω∩U (P 0;δ) ( 或 ∀P ∈Ω), f (P ) f (P ) Φ 则称 0 是 在约束条件 之下的极小值 P (或最小值) , 称 是相应的极小值点(或最小值 0 点). 类似地又可定义条件极大(或最大) 值. 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系 4 二、拉格朗日乘数法 (A) 拉格朗日乘数法探源 先从n = 2, m =1 的最简 情形说起, 即设目标函数与约束条件分别为