[理学]4-1 不定积分的概念.ppt

第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义: 例5. 质点在距地面 先求 二、 基本积分表 例6. 求 三、 不定积分的性质 例10. 求 内容小结 课堂练习 1. 不定积分的概念 ? 原函数与不定积分的定义 ? 不定积分的性质 ? 基本积分表 (见P 186) 2. 直接积分法: 利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , 积分性质 * * 本学期学习内容 第四章 不定积分 教材上册: 第五章 定积分 第六章 定积分的应用 教材下册: 第八章 多元函数微分法及其应用 第九章 重积分 第十二章 微分方程 引例1 解 引例2 因此问题转化为: 已知 求 根据牛顿第二定律, 加速度 问题: 定义1： 例 在区间I 内的原函数 . 问题: 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 定理 证: 1) 又知 故 即 属于函数族 即 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 定理 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为某个常数） 任意常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 定义 2. 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, 例1 求 解 解 例2 求 例3 求 解 例4 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. 的积分曲线 . 处以初速 力, 求它的运动规律. 解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 , 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 则 (运动速度) (加速度) 垂直上抛 , 不计阻 先由此求 再由此求 由 知 再求 于是所求运动规律为 由 知 故 由不定积分的定义，可知 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 基本积分表 是常数); (P186) 解: 原式 = 例7. 求 解: 原式= 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 推论: 若 则 例8 求积分 解 例9 求积分 解 解: 原式 = 例11 求积分 解 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表. 解 所求曲线方程为