[理学]41_42向量及相关性.ppt

* * 定理3 若向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关， 则整个向量组线性相关. (记：部分相关 整体相关；反之不成立 注：向量组中向量两两线性无关，整个向量组未必线性无关. 例(1,0), (0,1), (1,1). 定理4 若向量组线性无关，则每个向量在相同位置添加一些分量后所得高维向量组线性无关；若向量组线性相关，则每个向量在相同位置去掉一些分量后所得低维向量组线性相关. （记：短无关 长无关；长相关 短相关） 但其逆否命题: 整体无关 部分无关，成立 ) 证: 设 ,则 : 推论:向量组 线性无关 定理5 向量组 线性相关 其中至少有一个向量是其余向量的线性组合. 其中任一向量都不能由其余向量线性表示. 四、关于线性组合与线性相关的定理 ,设kj≠0，则: 定理6. 线性无关， 线性相关 证① ②设 线性相关 ∴存在不全为0的数k, ki ,使 ∴k≠0 (反证可得) 线性无关 线性无关 即 由 线性表示法唯一. 则 可由 唯一线性表示. ∴ ki=li(i=1,2,…,s) 返回 例:任一n维向量 可由Rn的基本单位向量组 唯一地线性表示为： 例5(05考研) 设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a), (4,3,2,1)线性相关且a≠1，则a＝ 返回 1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量； 3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量. 个向量可由其余向量线性表出. 2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量 组一定线性相关. 四、有关性质及定理 5）如果向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 可经向量组 线性表出.(习题) 都线性无关. 4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关； 一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 线性无关的充要条件是齐次线性方程组 只有零解； 的充要条件是齐次线性方程组(2)有非零解. 6）向量组 （2） 向量组 线性相关 特别地，对于n 个 n 维向量 行列式 行列式 线性无关. 线性相关； 的缩短组. 7）若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关 . 向量组 常称为向量组 的延伸组； 注： 称为 而 相关，则向量组 也线性相关. 反之，若向量组 线性 8）向量组线性相关的基本性质定理 定理2 设 　与 为两个 i) 向量组 可经 线性表出； 则向量组 必线性相关. ii) 向量组，若 要证 线性相关，即证有不全为零的数 使 证： 由i)，有 作线性组合 若能找到不全为０的 ，使　 中，方程的个数 s ＜未知量的个数 r ， 在方程组　 （3） 从而有不全为零的数 ，使 所以（3）有非零解. 所以 线性相关。 则也使　 推论2　任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关. 推论3　两个线性无关的等价向量组必含相同个数 推论1 若向量组 可经向量组 线性表出，且 线线性无关，则 的向量. （任意 　　　 个 n 维向量必线性相关.） 例3　判断向量组 是否线性无关？若线性相关，求一组非零数 使 解： 设 即有方程组 解之得 为任意数 所以　　　　线性相关. 令 则有　 使 设向量组 线性相关， 线性无关,问:(1) 能否由 线性表出? 证明你的结论； (2) 能否由 线性表出? 证明你的结论. 解:(1) ∵ 线性无关, ∴ 而 线性相关 ∴ 能由 唯一线性表出 (2)设 由(1) 代入上式整理得 即 可由 表出, 从而 线性相关, ∴ 不能由 线性表出 线性无关 矛盾! §4. 2 向量组的线性相关性 §4. 1 n维向量概念 §4. 3 极大无关组 §4. 4 线性方程组解的结构 一、n维向量的概念 二、n 维向量的运算 称