[理学]42 矩阵的相似对角化.ppt

一、矩阵相似的定义与性质 定理1 相似矩阵有相同的特征值 . 二、矩阵的相似对角化 定理3 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 . 例3 设矩阵 定理4 矩阵 A 不同特征值的特征向量线性无关 . 推论1 如果矩阵 A 的特征值都是单特征根，则 A 与对角矩阵相似 . 推论3 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似. 例4 设矩阵 A有n个线性无关的特征向量,能与对角矩阵相似. 例5 设 例6 设 例7 设 A 是 3 阶矩阵且 I + A , 3I－A ,I－3A 均不可逆 .证明 ： * 首 页 下 页 尾 页 上 页 一、相似矩阵的基本概念 二、矩阵的相似对角化 4.2 矩阵的相似对角化 一、相似矩阵的基本概念 例：设矩阵 定义：设A与B都是n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P, 使 则称A与B相似，记为 (2)对称性 (3)传递性 证 思考：相似矩阵有相同的行列式？ 证明： 定理2：设矩阵 则 证明： 证：充分性，设A有n个线性无关的特征向量. 则 必要性 设 则 则 设 是A的n个线性无关的特征向量. 例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解 解之得基础解系 求得基础解系 解之得基础解系 故 不能化为对角矩阵. A能否对角化？若能对角 例2 解 解之得基础解系 所以 可对角化. 注意 　　即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． 则 证：设 当m=2时,设 则 线性无关. 由数学归纳法可证： 线性无关. 证：设 是它们对应的特征向量. 则 线性无关. 所以，A与对角阵相似. 分析，设 则 对应的特征向量为 求x与y应满足的条件 . * 首 页 下 页 尾 页 上 页 * *