[理学]41不定积分的概念与性质.ppt

不定积分的概念与性质 熟记基本积分公式 不定积分的性质 原函数的概念 不定积分的概念 求微分与求积分的互逆关系 四、小结 不定积分的几何意义 不定积分的概念与性质 * 第四章 不 定 积 分 求原来那个函数的问题. 已知某曲线的切线斜率为2x, 本章研究微分运算的逆运算 已会求已知函数的导数和微分的运算. 解决相反的问题, 就是已知函数的导数或微分, 例如 某质点作直线运动,已知运动速度函数 求路程函数. 常要 求此曲线的方程. 1. 2. 不定积分. indefinite integral 第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分公式 不定积分的性质 小结 思考题 作业 indefinite integral 第四章 不定积分 一、原函数与不定积分的概念 几何问题 解 例1 设曲线方程上任一点的切线斜率都 等于切点处横坐标的两倍, 求曲线的方程. 设曲线方程为 满足此条件的函数有无穷多个, 如 等都是. 一般, 所求曲线方程为 C为任意常数. 不定积分的概念与性质 定义1 例 1. 原函数 如果在区间I上, 则称 或 原函数. 一个 或由 知 是 原函数. 也是 的原函数, 其中 为任意常数. 不定积分的概念与性质 问: ? 原函数存在问题 则在该区间上存在 可导函数 即,连续函数一定有原函数. 以后谈到函数的原函数时,总是对其连续区间而言. 不定积分的概念与性质 如, 问: 否! 问: 是否有其他类型的原函数? 否! 不定积分的概念与性质 一般, 的原函数 (C为任意常数). 因 一个函数如果有原函数, 就有无穷多个. 在区间I上的一个 在区间I上的任一原函数都 其中C为某一常数. 则 定理 定理表明: 的一整族函数 形如 是f(x)的全部原函数. 原函数, 结 论 的形式, 可表为 不定积分的概念与性质 故 证 的另一个原函数, 则 又 只要找到f (x)的一个原函数, 就知道 它的全部原函数. 在区间I上的一个原函数, 则f(x)在区间I上的任一原函数都可表为 其中C为某一常数. 定理 的形式, 要证 常数 因为 不定积分的概念与性质 导数恒为零的函数必为常数 某个常数 注意: 若将”区间I” 改为 则定理的结论未必成立. 如 不定积分的概念与性质 积分变量 积分常数 被积函数 定义2 被积表达式 2. 不定积分 不定积分. (1) 定义 全部原函数的一般表达式 称为函数f (x)的 总和(summa) 记为 积分号 不定积分的概念与性质 1. 被积函数是原函数的导数, 被积表达式是 原函数的微分. 2. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所 或说其微分等于被积表达式的所 有函数. 有函数. 因此绝不能漏写积分常数C. 3. 求已知函数的原函数或不定积分的运算称 为积分运算, 它是微分运算的逆运算. 4. 以后不定积分的适用区间常指被积函数的连续区间. 不定积分的概念与性质 例 求 解 解 例 不定积分的概念与性质 (2)不定积分的几何意义 积分曲线 称为 的积分曲线. 的图形 向平行于y 轴的方向任意 上下移动, 得出的无穷多条曲线, 称为 的图形是 平面的一条曲线, 是将曲线 族. 不定积分的概念与性质 由于不论常数C 取何值, 同一x处其导数等于f(x), 各切线相互平行. 有积分曲线族 即 x 不定积分的概念与性质 解 故所求曲线方程为 (3) 积分常数的确定 求通过点 且其切线斜率为2x曲线. 例 在求原函数的实际问题中,有时要从全部原函数中确定出所需要的具有某特性的一个原函数,这时应根据这个特性确定常数C的值,从而找出需要的原函数. 的曲线族为 有 不定积分的概念与性质 解 例 所以 不定积分的概念与性质 由不定积分的定义 结论 微分运算与求不定积分的运算是 如 (1) 或 或 互逆的. 二、不定积分的性质 不定积分的概念与性质 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） (2) (2)，(3)称为线性性质. 思考: k = 0,等式是否成立? (3) 不定积分的概念与性质 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式 结论 要判断一个不定积分公式是否正确,只要将右端的函数求导,看是否等于被积函数. 求导公式 积分公式. 三、基本积分公式 积分运算和微分运算是互逆的， 不定积分的概念与性质 基本积分公式 (k是常数) 说明： 简写为 不定积分的概念与性质 不定积分的概念与性质 熟 记 不定积分的概念与性质 注意: 1. 不定积分的答案形式可以不同, 只要导数等于被积函数就行. 如, 不定积分的概念与性质 2. 3. 绝大部分求不定积分是探