[理学]4中值定理导数的应用.ppt

例 设f(x)在区间 上具有二阶连续导数 （1）写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克老林公式； （2）证明在 上至少存在一点 ，使 例 设f(x)在 连续，在（a，b）内可导，a b 试证：存在 使得 例 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 (a,b) 可导，且 ，若极限 存在，证明 1）在(a,b)内 2）在(a,b)内，存在点 ，使得 3）在(a,b)内存在与（2）中 相异的点 ，使得 例 设 y= f (x) 在(?1,1) 内具有二阶连续导数且 f (x) ≠ 0, 试证： （1）对于 (?1,1) 内的任意 x≠0, 存在唯一的 θ(x)∈(0,1)，使 f (x)=f (0)+xf [θ (x)x] 成立； (2) 例 设 例 已知由参数方程 确定二阶 可导函数 （1） 求证点x = 0 是 y = f(x) 的极大值点； （2) 求曲线 y = f(x) 在点（0，0）处的曲率。 例 设函数f(x)在 x = 1的某邻域内连续，且有 （1） 求 f(1)及 （2）求 若又设 存在，求 （3）x =1 是否是f(x) 的极值点？若是，是极大值点还是极小值点？ 例 设 在 内二阶可导，在 有连续 的导数，且是凹函数，求证： 在 是凹函数 例 证明下列结论： 设 ，则存在 使得 在 单调减少，在 单调增加； 2）设 f (x) 在 连续，在 二阶可导且 又设 ，则M 0 且存在唯一的 使得 例 设函数f(x)在[0, 1]上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个? ? (0, 1), 使 例 设f(x)在[0, 1]上函数,在(0,1)内可导, 且 f(0) =0, f(1)=1，试证: 任意给定的正数a,b在 (0, 1)内, 存在不同的 使 例 设有方程 证明此方程存在惟一正实根 ，并证明当 级数 收敛. ，其中n为正整数. 时， 中值定理 与导数的应用 一、罗尔定理 如果函数 f(x) 那么在(a,b)内至少有一点 ξ(a ξ b),使 f (x)在该点的导数等于零. 即 (3) 在区间端点的函数值相等,即 f (a) = f (b). (2) 在开区间(a,b)内可导; (1) 在闭区间[a,b]上连续; 二、拉格朗日中值定理 如果函数 f(x) (2) 在开区间(a,b)内可导; (1) 在闭区间[a,b]上连续; 那么在(a,b)内至少有一点 ξ(a ξ b),使不等式 成立. 注意: 三、柯西中值定理 如果函数 f (x)与F (x) (2) 在开区间(a,b)内可导,且 在(a,b)内每一点处处均不为零; (1) 在闭区间[a,b]上连续; 那么在(a,b)内至少有一点 ξ(a ξ b),使不等式 成立. 一、 存在 (或为 ) 型未定式 (洛必达法则) 洛必达法则 二、 型未定式 存在 (或为∞) 定理 2. (洛必达法则) 三、其他未定式: 解决方法: 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 四 泰勒中值定理 如果函数 f(x) 在含有x0的某个开区间 内具有直到 阶的导数，则对一切 有 其中 这里 是 与x 之间的某个值 麦克劳林公式 其中 常用函数的幂级数展开式 函数单调性的定义：设函数 在[a,b]上连续,x1,x2是(a,b)内任意两点,且x1 x2,则 (1) 若 f (x2) f (x1) ,称 y = f (x) 在(a,b)内是单调增加 ; (2) 若 f (x2) f (x1) ,称 y = f (x) 在(a,b)内是单调减少. 五 函数的单调性与极值 函数单调性的判定法 若 定理 设函数 则 在 I内单调递增 (递减) . 在开区间 I内可导, 函数的极值及其求法 定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 . 定义 注意: 定理1(必要条件