[理学]44换元积分法.ppt

例12 （三角代换很繁琐） 令 解 回代 换元积分法 三角代换(或双曲代换) 注 需根据被积函数的情况来定. 积分中为了化掉根式是否一定采用 并不是绝对的, 换元积分法 2. 根式变换 去根号,化为有理函数 例13 求 为各根指数的最小公倍数） 注 当被积函数含有两种或两种以上 的根式 时， 可采用令 （其中 换元积分法 3. 被积函数含有 例14 求 ====== 换元积分法 例15 求 解法一: 三角变换 解法二: 根式变换 解法三: 倒变换 解法四: 换元积分法 例16 令 解 法一 回代 换元积分法 倒代换 注 可用来消去分母中的变量. 一些情况下(如被积函数是分式,分母的方幂 较高时), 法二 回代 还有别的方法吗？ 换元积分法 法三 换元积分法 如: 倒代换 对如下形式 都适用. 换元积分法 例 17 求 解 令 （分母的阶较高） 换元积分法 回代 换元积分法 基本积分表(2) 换元积分法 希望自己添加! 换元积分法 解 换元积分法 下列各题求积方法有何不同? 换元积分法 定理1 则有 定积分换元公式 假设函数 函数 满足条件: (1) (2) 具有连续导数, 且其值域 换元积分法 三、定积分的换元法 证 故有 则 由于 N--L公式 N--L公式 则 所以存在原函数 原函数, 换元积分法 注 与不定积分的换元法类似,有 ===== (1) 换元一定要换限,上限对应上限,下限对应下限(不一定 ). (2) 求出 的原函数后,不用将 代回,直接代入新的积分限即可. 换元积分法 (3) 换元公式也可反过来用. ===== 满足定理条件 (4) 作的变换一定要满足定理的条件: 有连续的导数 换元积分法 例18 计算 例19 计算 换元积分法 例20 解 在用“凑”微分的方法时, 不明显地写出 下限就不要变. 定积分的上、 新的变量 t , 注 换元积分法 或 注 作换元时,一定要满足定理的条件: 有连续导数 例21 ==== 从而 ? 换元积分法 几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子. 换元积分 例22 由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换. 通常 还可以证明一些定积分等式, (2) 当 为偶函数时, (3) 当 为奇函数时, 换元积分法 注意: 上面的结论可用于简化对称区间上连续奇,偶函数的定积分. 这是定积分计算的一种技巧. 例23 计算 例24 计算 换元积分法 证 (1) 三角函数的定积分公式 例25 由此计算 设 证毕. 化被积函数相同 换元积分法 设 证 由此计算 换元积分法 * 与它们对应的是本节和 基本积分法 复合函数微分法和乘积的微分. 在积分运算中, (两种). 微分运算中有两个重要法则: 下节的换元积分法和分部积分法 第四章 不定积分 第四节 换元积分法 第一换元积分法 第二换元积分法 小结 思考题 作业 integration by substitution 第四章 不定积分 解决方法 将积分变量换成 令 因为 一、第一换元积分法 换元积分法 定理 第一类换元公式 （凑微分法） 证 可导, 则有换元公式 设 具有原函数, 注 “凑微分”的主要思想是:将所给出的积分凑成积分表里已有的形式,合理选择 是凑微分的关键. 换元积分法 注意: 1. 运算程序: 代回 换元积分法 2. 设 则 可微时,有 积分形式的不变性 3. 求 多练,多想,多总结 换元积分法 例1 求 例2 求 先凑微分,再配系数. 总结一 换元积分法 例3 求 换元积分法 总结二:常见的凑微分类型有 换元积分法 换元积分法 例4 求 总结三 换元积分法 例5 求 总结四 换元积分法 例6 求 换元积分法 总结五 (1) 当m,n中有一个为奇数时,如 则 ===== (2) 当m,n都是偶数时,利用倍角公式. 换元积分法 ===== ===== 换元积分法 例7 求 总结六 对于三角函数的积分,用恒等变换. 换元积分法 例8 求 例9 求 换元积分法 换元积分法 换元积分法 解 令 对此类题,一般可用下列各种解法 法一 思考题1 换元积分法 法二 换元积分法 令 则 此方法中应注意 的涵义, 它是函数 求 解 思考题2 换元积分法 原式= 二、第二换元积分法 有根式 解决方法 消去根式, 困难