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函数与极限 * 第四章　振动学基础 第一篇　力　学 阻尼振动、受迫振动、共振 内　容　结　构 目的：由振动动力学规律，得到振动问题的运动学方程 二　振动的运动学规律 一　振动的动力学规律 引入运动学参量、运动学方程、振动的合成 三　振动的能量 四　几种特殊的振动 §4.1　振动动力学 一　振动动力学方程的建立 例：如果质点所受作用力满足F=-kx 　　写出其动力学方程与运动学方程 解：由　　　　　及　　　　　　 其中 得 微分方程的解 例：写出单摆的动力学与运动学方程 解：回复力方程 动力学方程 运动学方程 例　写出复摆的动力学与运动学方程 解：回复力矩方程 动力学方程 运动学方程 其中 例：写出LC振荡电路的微分方程 解：因　　　　及 动力学方程 运动学方程 小结：建立振动动力学方程的基本步骤 分析物体的受力、力矩或其它物理规律，建立动力学方程 求解动力学方程，得到运动学方程。注意微分方程中的系数 二 有关振动的概念 振动：物理量在某一物理量值附近作周期 　　　性变化称为该物理量的振动 机械振动：物体在一定位置作周期性往复机械运动，称为该物 　　　体的机械振动。 简谐振动1：物体所受回复力与位移之间的关系满足 　　　　　 称物体所作的运动为简谐振动 简谐振动2：如果物体的运动学方程可以写为 　　　　　　　　　　　　　称物体所作的运动为简谐振动 简谐振动3：如果物体的动力学方程可以写为 　　　　　　　　　　　称物体所作的运动为简谐振动 例：如图，证明用力下压处于平衡的比重计，放手后比重计将 作简谐振动。比重计圆筒半径为d，液体密度为?。不计液 体粘滞阻力 证明：以比重计平衡位置为原点建立图示坐标系 平衡时 偏离平衡位置位移为x时 即 由牛顿第二定律可得比重计运动的动力学方程为 定义　　　　　　　　得 按简谐振动的定义3，可知比重计的运动为简谐振动 运动学方程 例：证明匀速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动 证明：设物体以?的角速度作匀 速圆周运动，初始时刻的位置与 x轴夹角为?，则任意时刻t物体在 x轴上的位移为 由简谐振动定义2，匀速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动 讨论：正因为在圆周运动中?代表物体运动的角速度，因此， 简谐振动运动学方程中的?称为简谐振动的角速度或角频率 (代表2?秒内物体完成完全振动的次数)。代表物体振动的快慢 §4.2　简谐振动的能量 一　简谐振动的能量 1.简谐振动的总能量 以弹簧谐振子为例简单说明简谐振动的能量问题 对弹簧谐振子，其能量显然地有 而 于是 结论：弹簧振子的总能量是守恒的。 其强度由振幅决定 2.简谐振动的平均能量 弹簧振子在一个周期内的平均动能、平均势能 结论：谐振子的平均动能、平均势能等于总能量的一半 二　简谐振动能量与动力学方程的关系 因简谐振动的能量守恒 既然能量守恒，将上式对时间求一次导数 其中 结论：将谐振子能量守恒关系式对时间求一次导数，可以得到 　　　简谐振动的动力学方程 这提供了又一种证明简谐振动的方法。即：先写出振动体系的 能量关系，如果体系的能量守恒，那么，将能量守恒关系式对 时间求一次导数。就可以得到谐振子的动力学方程 例：如图，定滑轮的半径为R，转动惯量为I，弹簧的劲度系数 　　为k，物体质量为m。不计体系的 摩擦，证明将物体拉离 　　平衡位置后的自由振动为简谐振动 证明：以平衡位置为原点，向下为正方向，建立坐标系 物体系的机械能为 因机械能守恒，对上式求时间的一次导数 定义 有 注意：这里又提供了一种证明简谐振动的方法 §4.3　简谐振动的运动学描述 一　描述简谐振动的物理量——振幅、周期、相位(解析描述) 1.振幅：作谐振动物体离开平衡位置的最大距离A，称为振幅 讨论：A.从谐振动物体运动的线度而言，振幅表征了物体离 　　开平衡位置的最大距离。 B.从谐振动物体运动的能量而言，振幅表征了物体振动的能量 C.振幅由初始时刻谐振子的运动状态确定 由运动学方程 ，有 2.周期、频率 周期：物体作一次完全振动所需的时间，称为谐振动的周期。 频率：单位时间谐振动完成振动的次数，称为谐振动的频率。 　　　频率等于周期的倒数 数学表达式 角频率与频率的关系 讨论 A. 周期、频率反应振动的快慢。 B. 在初始条件下作无阻尼自由谐振的物体的周期，是由谐振 　子自身结构决定的。这个周期，称为谐振子的固有周期。 　固有周期是由回复力中的k及谐振子的m，或动力学方程中 　的?决定的 例：求单摆、复摆、LC振荡电路的周期(略) 3.相位、初相 定义：相位——定义为振子在t时刻的相位。 　　　初相——t=0时刻的相位(?) 讨论：A.相位表征任意时刻t振子的运动状态(在等效的匀速圆 周运