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[理学]51 二次型及其矩阵形式
定义1:设P为数域, 1) 约定①中aij=aji,ij ,由 xixj=xjxi,有 进一步 2.线性替换的矩阵表示 答案: 例6 证明:矩阵A与B合同,其中 一个排列. 证:作二次型 故矩阵A与B合同. 对 作非退化线性替换 则二次型化为(注意 的系数为 ) n元二次型: 非退化线性替换: ,或X=CY, |C| ≠0. 基本概念 矩阵的合同: 小 结 基本结论 1、二次型经过非退化线性替换仍为二次型. 3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性. 2、二次型X′AX可经非退化线性替换化为二型Y′BY * 第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵表示 §2 标准形 §3 唯一性 §4 正定二次型 主要内容 问题的提出 第一节 二次型及其矩阵表示 二次型的定义及矩阵表示 线性替换 合同矩阵 在解析几何中, 为了便于研究二次曲线 把方程化为标准形 的几何性质, 我们可以选择适当的角度?,作转轴 ax2 + 2bxy + cy2 = f (1) (反时针方向转轴) 一、问题的提出 解析几何中 选择适当角度θ,逆时针旋转坐标轴 (标准方程) 中心与坐标原点重合的有心二次曲线 变量的二次齐次多项式的化简问题. (1) 式的左边是一个二次多项式, 从代数学的 观点看, 化标准的过程就是通过变量的线性替换(2) 化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项. 这样一个问题, 在许多理论问题或实际问题中常 会遇到. 现在我们把这类问题一般化, 讨论 n 个 代数观点下 作适当的非退化线性替换 只含平方项的多项式 二次齐次多项式 (标准形) 称为数域P上的一个n元二次型. ① n个文字 的二次齐次多项式 二、二次型的定义及矩阵表示 1. 定义 注 意 2) 式① 也可写成 1) 为了计算和讨论的方便,式①中 的系数 写成 例1 ② 2.二次型的矩阵表示 把上式的系数排成一个 n ? n 矩阵 它就称为二次型的矩阵. 因为 aij = aji , i , j = 1, 2, …, n , 所以 我们把这样的矩阵称为对称矩阵,因此,二次型 的矩阵都是对称矩阵. 于是有 例 2 已知二次型 写出二次型的矩阵 A. 解 设 , 则 例 3 已知二次型 写出二次型的矩阵 A. 解 设 , 则 3.二次型的几种表示形式 2) 3) 4) (A为任意n级矩阵). 1) 4.性质 2)二次型与它的矩阵相互唯一确定,即 正因为如此,讨论二次型时矩阵是一个有力的工具. 若 且 ,则 1)二次型的矩阵总是对称矩阵,即 (这表明在选定文字 下,二次型 完全由对称矩阵A决定.) 3)对于任意n级矩阵A,二次型 的矩阵是 的矩阵. 例4 写出二次型 定义2: 是两组文字, ,关系式 ③ 称为由 的一个线性替换; 若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换. 三、非线性线性替换 1. 定义 . 0 它是非退化的. ∵系数行列式 例5 解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度 即变换 则③可表示为 X=CY ④ 若|C| ≠0,则④为非退化线性替换. 注 1)③或④为非退化的 为可逆矩阵 . 2)若X=CY为非退化线性替换,则有非退化线性替换 . 即,B为对称矩阵. 性质 二次型经过非退化线性替换仍为二次型 ———— ———— ———— ———— 证明: 是一个 二次型. 3. 性质 证毕 四、合同矩阵 1. 概念的引入 我们知道,经过一个非退化的线性替换,二次 型还是变成二次型. 现在来讨论替换前后的二次型 的矩阵之间的关系. 二次型,作非退化线性替换 X = CY . 得到一个关 现在来看矩阵 B 与 A 的关系. 设 是一个 于 y1 , y2 , … , yn 的二次型 . 得 这就是前后两个二次型的矩阵的关系. 又因为矩阵 也是对称的(前面已证),由此即 定义3:设 ,若存在可逆矩阵 使 ,则称A与B合同
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