[理学]5第二章 数学建模及相关数学知识5-节90-113_2005_6_9改.doc

§2.5 微分方程模型 微分方程模型通常运用的是所谓平衡原理：即物资在某段时间的变化量与其在这段时间内增加和减少的差处于平衡状态。如物理中的动量、能量守衡。在代数上我们列方程也常用这种平衡关系列方程式。在数学建模中，这种思想也广泛应用。 例20．人口问题 1)Malthus模型 (1)模型1。设在时间t，某地区的人口数为N（t），下面建立模型讨论N（t）的表达式。 设：1.忽略人群个体差异； 2.人口规模相当大，N（t）视为连续函数且充分光滑； 3.考虑一个封闭区域，即不考虑迁入迁出； 4.从一个大的总体考虑人口死亡与繁殖过程的平均效应； 5.人口增长过程是平稳的，与时间无关； 6．每个个体的增殖与总体无关。 建模：由假设1.可考虑t时刻人口数N（t）为基本数量特征。由假设2，N（t）充分光滑。考虑[t，t+△t]内总体变化。注意到假设3，应等于在△t时间内出生的个体总数和死亡个体总数之差。即 = - 由假设4。考虑死亡与繁殖的平均效应，于是，出生率应为， 死亡率为 =（-） = 按△t作Maclaurin展开得 = 二端除以△t，令△t → 0 得 注意到假设5,6，与无关，则得 这就是著名的Malthus模型，解这个方程得 令得 所以 这个模型是Malthus（英国，18世纪）研究了百余年人口统计资料后得到的结论：即在人口增长的过程中，净相对增长率（出生率与死亡率之差-为净增长率）为常数。从直观上看，当r0时， →∞按指数增长，明显不符合实际。 另一方面，Malthus指出：物质增长以算术级数增长(或幂函数增长)即tα，注意到 随着时间的推移，将发生严重饥荒。 Malthus对此问题提出的解决办法是：通过战争、瘟疫等手段来遏制人口增长。 当然，此模型对人口总量不大时，基本符合事实。如：与19世纪以前欧洲一些地区人口数据吻合、与迁居加拿大的法国移民人口吻合。而与19世纪以后人口有较大差异、与法国本土人口不吻合。 究其原因发现，主要原因是：随着人口增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长影响越来越大。 在我国，康熙年间，我国人口增至3.6亿，耕地增长40%，新种植方法一年多熟、高产作物红薯大范围推广(50年成就展，山东一棵红薯102斤，大跃进一棵红薯76斤，有人按每亩5000棵计算，亩产38万斤，折合粮食38万/5=7000斤)，生产的发展推动了人口迅速增长。这也说明：民以食为天。在人口问题的研究中，不考虑经济的发展是不行的。 另外，寿命延长也是制约人口发展的重要因素，5000年前，平均寿命18岁；司马光家族统计结果平均年龄32.4岁，孔子家族统计结果平均年龄32.88岁，现在我国平均年龄71.4岁(2002年9月公布统计结果)。 医疗条件改善, 生育率提高，58年我国妇女平均生育率5.84。 这些因素的忽略导致了模型的不准确。如何修改模型？把所有的情况都考虑，将无法讨论。但上述问题都导致了一个直接结果：人口自然增长率不应是常数，它与总人口数有直接关系。因此，我们首先修改r，设它与N有关，且假设为N的最简单的线性函数，即设。 由此得 2）Logistic模型 （*） 化为 （**） 显然，当时，称Nm为环境的最大容量。称上述（*）或（**）为Logistic模型。 解上述方程易得 当N较Nm很小时，则, Logistic模型化为Malthus模型。 1934年，数学生物学家G.F.Gause对草履虫做的试验（将有0.5ml营养液的小试管中放置5个草履虫，个体培养6天，结果如图2-53）；R.Pearl对酵母菌做20小时增长试验，结果如图2-54。基本都符合Logistic模型。 若取Nm=197*106，a=0.031,N0=3.9*106,对美国1790年至1930年人口进行拟合，结果基本吻合，而与1930年以后的数据有较大误差。纠其原因是1970年以后，美国人口已超过原估计的最大容量197*106(图2-55)。 美国人口数据及模拟图（包括mathematica程序： Show[{g,ListPlot[d]}] 3)人口问题的进一步讨论 人口问题是一个非常复杂的问题,仅从人口总数和自然增长率去研究是不够的,也显得过于简单和粗糙。下面考虑几个问题： 在人口预测中，生育率和死亡率明显不同，因此，尽管二个国家人口相同，但是，不同年龄段的人数的不同，必将影响生育率和死亡率，从而影响人口的自然增长率。于是，人口问题与不同年龄段的人数有关，表示t时刻年龄不超过r的人数。问题化为偏微分方程； 人口问题与生育模式（年龄有关r时的生育率）、性别比、老龄化指数有关；