[理学]6-1-2定积分在几何上的应用.ppt

第二节 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积 1、旋转体的体积 三、平面曲线弧长的概念 1、直角坐标情形 弧长元素 弧长 * * 第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 第二节 定积分在几何学上的应用 第三节 定积分在物理学上的应用* 第一节 定积分的元素法 回顾 曲边梯形求面积的问题: a b x y o 面积表示为定积分的步骤如下: （3）求和，得A的近似值 （4）求极限，得A的精确值 a b x y o 面积元素 元素法的一般步骤： 这个方法通常叫做元素法． （定区间） （求微元） （算积分） 应用方向： 　平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长;功;水压力;引力和平均值等． 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 若曲边梯形由曲线y ?f (x)、 两条直线x?a、x?b 与x轴所 围成的的面积。 1、直角坐标情形： 若曲边梯形由 两条曲线所围的: 微元法：设平面图形由上下两条曲线y?f上(x)与y?f下(x)及左右两条直线x?a与x?b所围成. [f上(x)? f下(x)]dx,它也就是面积元素. 因此平面图形的面积为 在点x处面积增量的近似值为 讨论：由左右两条曲线x?j左(y)与x?j右(y)及上下两条直线y?d与y?c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？ 面积为 面积元素为[j右(y)?j左(y)]dy, 对比较复杂的图形均可对图形进行分割转化为以上讨论的情形: 例1 计算抛物线y2?x与y?x2所围成的图形的面积. 解 (2)确定在x轴上的积分区间: [0, 1]; (1)画图： (4)计算积分 例2 计算抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成的图形的面积. (2)确定在x轴上的积分区间: (4)计算积分 (3)确定上下曲线: [0, 8]. 解1 (1)画图： 两曲线的交点: (2)确定在y轴上的积分区间: (4)计算积分 (3)确定左右曲线: [-2, 4]. 解2 (1)画图： 解 两曲线的交点 选 为积分变量 于是所求面积 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 但如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积： 例4 因为椭圆的参数方程为 x?acost, y?bsint, 所以 解 椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍. 于是 ydx, 椭圆在第一象限部分的面积元素为 曲边扇形： 曲边扇形的面积元素 曲边扇形是由曲线???(?)及射线???, ???所围成的图形. 曲边扇形的面积 2.极坐标情形 例5 计算阿基米德螺线??a? (a0)上相应于?从0变到2? 的一段弧与极轴所围成的图形的面积. 解 曲边扇形的面积： 例6 计算心形线??a(1?cos?)(a0)所围成的图形的面积. 解 解: 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积: 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 二、体积 x y o 旋转体的体积为 例8 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线x?h及x轴围成一个直角三角形. 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体. 计算这圆锥体的体积. 解： 旋转体的体积： 解： 轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体. 旋转椭球体的体积为 例9 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积. 例10 计算由摆线x?a(t?sint), y?a(1?cost)的一拱, 直线y?0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 解 设曲线左半边为x=x1(y), 右半边为x=x2(y). 所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为 ?6? 3a3 . 2、平行截面面积为已知的立体的体积 设立体在x轴上的投影区间为[a, b], 立体内垂直于x轴的截面面积为A(x). 立体的体积元素dV为 立体的体积为 A(x)dx. A(x) 例11 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角?. 计算这平面截圆柱所得立体的体积. 建立坐标系如图, 则底圆的方程为x2?y2?R2. 所求立体的体积为 截面面积为A(x)的立体体积： 解 立体中过点x且垂直于x轴的截面为直角三角形, 其面积为： 例12