[理学]6第六章伯努利方程及其应用.ppt

第三节 完全气体作可逆绝热流动时 的柏努利积分 本节的内容实际上是“一维气体动力学基础”这一章中的内容。在一维气体动力学中，有关的基本方程是从欧拉方程中简化得到。其实它也是柏努利方程在流体作绝热可逆的可压缩流动时的特例。所以我们把有关的内容放到了这一节中作一个简单的介绍。 当流场为正压流场时，已经推导建立的柏努利方程的一般形式为： 前面已经建立了压力函数的关系，当理想完全气体作绝热可逆流动时（等熵，但一般是熵沿流线相等），其压力函数为： 其中 为比热比，由于 ，有 。对于完全气体其状态方程有 ，完全气体的焓为 ，可知： 当要考虑气体的压缩性时，速度是足够大的，V100m/s， 使得U相对足够小，可以忽略。所以这时的柏努利方程一般不再出现U或gz这样的项。将压力函数代入，有如下常用可压缩流体的柏努利方程： (1) (2) (3) 一、滞止状态 柏努利方程反映的是一种能量守恒。当沿着流线流动减速时，流体将经过一个绝热等熵的压缩过程，使其压力、温度和密度升高。而当减速到V＝0时，这时 均将达到可能的最大值，称这时流体所处的状态为滞止状态。由(2)式可知滞止状态的温度（称滞止温度）为： 此时的焓值既为滞止焓： 可见，滞止焓也就是柏努利积分的积分常数。而对于滞止压力和滞止密度，我们还需要其他的关系才能得到其表达式。但有： 二、最大速度 根据方程(1)，可知当压力降低时，即气体做绝热膨胀时，速度将增大。速度能够达到的最大可能值，就是当气体膨胀到p＝0时所达到的值，称这一速度为最大速度，记为Vmax。 所谓p＝0是指绝对压力，这时对应的是真空状态，有 由伯努利方程： 可见最大速度Vmax取决于T0 。 三、声速、临界状态 空气是可压缩气体，当在空气中某处产生一微小的震动，导致该处的空气有一个微小的压缩和膨胀，这种扰动就会以波动的形式向其他地方传播开去，这种波就称之为声波。其速度以a记之。声波是一种纵波，其波速为一状态参数。由于流体的剪切弹性模量为零（静止不能承受切应力），故不能传递横波。 （光波是横波，为什么能在空气中传波） 由于声波的传递过程是小扰动传递过程，其过程可以认为是等熵的，声速的计算式为： 式中，Es是等熵过程的体积弹性模量。有： 所以： 对于完全气体的等熵过程有： ，代入上式可得： 即： 带入伯努利方程(2)： 在流体流动过程中，当温度升高时，声速也相应的提高，流体滞止时，温度达到最大，此时的声速也达到最大值，称滞止声速： 这样，可压缩流的柏努利积分常数之间就有如下关系： 下面我们引入临界状态的概念，由伯努利方程知道，动能与热能守恒，在绝热等熵流过程中，温度与速度之间有一种“互补”的关系，即速度V从0到Vmax变化，同时温度从T0到0变化，而声速与温度有关，也就是说，当速度从0变化到Vmax时，声速就从a0变化到0。设想沿某一条流线气流速度从0开始加速到Vmax，这中间必然有一点，在这一点上有V=a，即当地的速度等于当地的声速，我们就称这样的状态为临界状态，这时的速度和声速分别记为Vcr，acr。 在临界点Vcr=acr，将此点状态参数代入柏努利方程有： 可解得： 由上式可见，临界速度仅取决于滞止温度。 设我们的房间中的气体温度T=15℃=288K，K=1.4，V=0，p=1at。可求得：a=a0=340m/s，acr=310m/s，Vmax=756m/s。 四、马赫数，滞止参数与马赫数之间的关系 定义：流体质点的运动速度与当地声速之比，称马赫数。 M1：亚声速流动， M1：超声速流动。也常说亚音速或超音速流动。 回到刚才的那条流线上，可知M数的变化范围0M∞，由空气动力学可以得到如下关系：我们不加以证明。 在空气动力学中，除马赫数外，还常使用速度系数λ，他的定义是：流体质点速度与临界速度之比。 速度系数： 因为在同一条流线上，Vcr和Vmax都是只与总温有关的滞止参数，是固定不变的值，而当地速度可以从0变到Vmax，因而速度系数的变化范围是： 设空气的温度为T=15℃=288K，当M=3时，可求得滞止温度： 这就是所谓的热障。在1960’即已有超过热障的飞机。这就是SR-71和Mig-25。 第四节 气体动