立几中一支突起的“异军”法向量.doc

法向量在立体几何中的应用 向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。 法向量的定义 1.1 定义1 如果一个非零向量与平面垂直，则称向量为平面的法向量。 1.2 定义2 任意一个三元一次方程：， 都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中为其一个法向量。 事实上，设点是平面上的一个定点，是平面的法向量，设点是平面上任一点，则总有。 ∴ ， 故 ， 即 ， ∴ ，……① 设 ， 则 ① 式可化为，即为点P的轨迹方程。 从而，任意一个三元一次方程：， 都表示一个平面的方程，其法向量为。 2 法向量在立体几何中的应用 2.1 利用法向量可处理线面角问题 设 为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之 间的夹角，则有（图1）或（图2） 图1 图2 特别地 时，，；时，，或 例1（2003年, 新课程 、江苏 、辽宁卷高考题） 如图3，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD 上的射影是的重心G。求与平面ABD所成角的大小。 （结果用反三角函数表示） 解 以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为 轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， 设， 图3 则 ，，， ∴ ， ， ，， ∵ 点E在平面ABD上的射影是的重心G， ∴ 平面ABD， ∴ ，解得 。 ∴ ， ， ∵ 平面ABD， ∴ 为平面ABD的一个法向量。 由 得 ， ∴ 与平面ABD所成的角为 ，即 。 评析 因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足。 2.2 利用法向量可处理二面角问题 设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 的夹角为，则有（图4）或 （图5） 图4 图5 例2 （2003年，北京卷高考题） 如图6，正三棱柱的底面边长为3，侧棱， D是CB延长线上一点，且。 求二面角的大小。（略去了该题的①，③问） 解 取BC的中点O，连AO。 由题意 平面平面，， ∴平面， 以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系， 图6 则 ，，，， ∴ ， ， ， 由题意 平面ABD， ∴ 为平面ABD的法向量。 设 平面的法向量为 ， 则 ， ∴ ， ∴ ， 即 。 ∴ 不妨设 ， 由 ， 得。 故所求二面角的大小为。 评析　（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。 （2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。 例3（2002年，上海春季高考题） 如图7，三棱柱，平面平面， ，，且， 求二面角的大小。（略去了该题的②问） 图7 解 以O点为原点，分别以OA，OB所在直线为轴，轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为轴，建立直角坐标系（如图7所示）， 则，，，， ∵ 平面AOB， ∴ 不妨设平面AOB的法向量为 ， 设 平面 在此坐标系内的方程为：， 由点A，B，均在此平面内，得 解得 ，，， ∴ 平面的方程为：， 从而平面的法向量为 ， ∴ ， ∴ ， 即 二面角的大小为 ， 评析 在求平面的法向量时，也可用此法先求得在空间直角坐标系中该平面的方程，从而直接得到其法向量。 2.3 可利用法向量处理点面距离问题