[理学]8-3 格林公式及应用.ppt

证明 (1) (2) 证明 (2) (3) 证明 (3) (4) 证明 (4) (1) 例11. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 因此 是某个函数 的全微分. 由 例9 的原函数 可见 其中 为任意常数. 例10. 设质点在力场 作用下沿曲线 L : 由 移动到 求力场所作的功W 解: 令 则有 可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. 思考: 积分路径是否可以取 取圆弧 为什么？ 注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 ! 点B(3, 4), 到原点的距离, 解: 由图知 故所求功为 锐角, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用, * 单连通与多连通区域 区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时? 如果左手在区域D内? 则行走方向是L的正向，记作 单连通区域 多连通区域 设D为平面区域? 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D? 则称D为平面单连通区域? 否则称为多连通区域? 8-3 格林公式 . 平面第二型曲线积分与路径无关的条件 定理1 证明(2) D 两式相加得 同理可证 G D F C E A B 证明(3) 由(2)知 注意： 对复连通区域D? 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分? 且边界的方向对区域D来说都是正向? x y o L 1. 简化曲线积分 A B ? 2. 计算二重积分 x y o 3. 计算平面面积 解 2、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 例. 计算 其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 称积分与路径无关 这是因为? 设L1和L2是D内任意两条从点A到点B的曲线? 则L1?(L2-)是D内一条任意的闭曲线? 而且有 曲线积分与路径的关系 在 D 意一条简单逐段光滑闭曲线的曲线积分 曲线积分 内与路径无关 沿 D 内任 ò + Qdy Pdx =0 曲线积分与路径的关系 定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法) . ) ( 闭曲线的曲线积分为零 则曲线积分 ò + L Qdy Pdx 在 D 内与路径无关 或沿 D 内任意 , ( , ) , 数 设 函数 P x y 及 Q ( x y ) 在 单连通域 D 内具有一阶连续偏导 在 D 内处处成立 在 D 意一条简单逐段光滑闭曲线的曲线积分 曲线积分 内与路径无关 沿 D 内任 ò + Qdy Pdx =0 应用定理2应注意的问题 (1)区域D是单连通区域? (2)函数P(x? y)及Q(x? y)在D内具有一阶连续偏导数? 如果这两个条件之一不能满足? 那么定理的结论不能保证成立?(例5) 表达式P(x? y)dx?Q(x? y)dy与函数的全微分有相同的结构?但它未必就是某个函数的全微分? 那么在什么条件下表达式P(x? y)dx?Q(x? y)dy是某个二元函数u(x? y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时? 怎样求出这个二元函数呢？ 二元函数u(x? y)的全微分为 du(x? y)=ux(x? y)dx?uy(x? y)dy? 二元函数的全微分求积 原函数 如果函数u(x? y)满足du(x? y)= P(x? y)dx?Q(x? y)dy ? 则函数u(x? y)称为P(x? y)dx?Q(x? y)dy的原函数. 设函数P(x? y)及Q(x? y)在单连通域D内具有一阶连续偏导数? 则P(x? y)dx?Q(x? y)dy在D内恰是某一函数u(x? y)的全微分的充分必要条件是等式 在D内恒成立? 定理3 推论 设函数P(x? y)及Q(x? y)在单连通域D内具有一阶连续偏导数? 对任意两点 曲线积分　　　　　与路径无关的充要条件是：P(x? y)dx?Q(x? y)dy恰是某一函数u(x? y)的全微分，此外，当Pdx?Qdy是u(x? y)的全微分时，有 总结: 设D 是单连通域 , 在D 内 具有一阶连续偏导数, (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3) (4) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与