[理学]97_重积分习题课.ppt

15：计算 其中 从而 16. 在半径为a的均匀密度的球体内部挖掉两个互相内切于大球的半径为a/2的球体，试求剩余部分对于这三个球的公共直径的转动惯量。 解：假设 设坐标原点为大球球心；公共直径所在轴为z轴.用球面坐标系计算， 练习 设 f(x) 连续，证明 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一个一边与 直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个薄片的重心恰 提示: 建立坐标系如图. 由对称性知 即有 恰好落在圆心上 ,问接上去的均匀矩形薄片的另一边长度应为多少? 练习 重积分复习 一、知识点回顾； 二、典型例题分析； 三、练习 积分区域为： 二重积分（几何意义：曲顶柱体体积）物理意义：平面的质量 ［X－型］ 积分区域为： ［Y－型］ 二重积分在极坐标下的计算公式 1、被积分函数或者积分区域含有圆，常用极坐标； 2、在积分中注意使用对称性与奇偶性; 3、一般变量代换中注意雅可比行列式要加绝对值 1、极点不在区域 D 的内部 2、极点位于区域 D 的内部 3、极点在区域 D 的边界上 二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是： ①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序，定出积分限 1、关于坐标系的选择： 这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑 被积函数呈 常用极坐标 其它以直角坐标为宜 2、关于积分次序的选择 选序原则 ①能积分，②少分片，③计算简单 3、关于积分限的确定 二重积分的面积元 为正 确定积分限时一定要保证下限小于上限 积分区域为圆形、扇形、圆环形 极坐标系下勿忘 r 4、关于对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性时要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用 对 ①若D关于 x 轴对称 ②若D关于 y 轴对称 ③若D关于原点对称 ——称为关于积分变量的轮换对称性 是多元积分所独有的性质 奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于 对称区间上奇偶函数的定积分的性质 ①、②、③简单地说就是: ④若 D 关于直线 y = x 对称 例1 解1 解2 注意两种积分次序的 计算效果！ 解 D关于 x , y 轴及原点及 y = x 对称 故 故 例2 计算 解 例3 计算 D1 D2 解 D的边界 极点在D的边界上 圆周在(0, 0)的切线斜率为 故 例4 计算 例5 计算 D2 D1 解 例6 设 f (x) 在 [0,1] 上连续 求 解 D 试将二重积分 化成定积分 解 由积分域和被积函数的对称性 有 用极坐标 例7 为将二次积分化为所需要的定积分，须变换积分次序 D D1 即：化为一个定积分和一个二重积分的运算 三重积分 . 1、面投影法（先一后二法） 2、轴投影法----截面法 先二重积分，后定积分 . 利用柱面坐标计算三重积分 dV = 利用球面坐标计算三重积分 dV= r 2 sin? drd?d? rcos ?) sin? drd?d? r 2 利用对称性和奇偶性化简三重积分的计算时应注意: １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标面的奇偶性． 三重积分及更多重积分没有几何意义 重积分应用 (1) 体积 设S曲面的方程为： 曲面S的面积为 (2) 曲面积：平面图形面积 当薄片是均匀的，重心称为形心. (3) 重心坐标 空间物体的重心(质心) 注：可妙用形心坐标公式求某些重积分 1、薄片对于x轴的转动惯量 2、薄片对于y轴的转动惯量 (4.) 转动惯量 (4.) 转动惯量 薄片对 轴上单位质点的引力 为引力常数 (5) 引力