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* 线代第四章 (1) 无解的充分必要条件是R(A)R(A,b)； 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n； 有无穷多个解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n； (2) 有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b) 定理1 n元线性方程组 上节回顾 1) R(A) = n 有唯一解,即零解. 2) R(A) n 有无穷多个非零解. 定理2 关于n元齐次线性方程组 推论 关于n元线性方程组 1) 有唯一解. 2) 无解或有无穷解. 例 4 设有线性方程组 解一 3.含参数的线性方程组的题型求解 这时又分两种情形： 其通解为 §4-1 向量组及其线性组合 n维向量的定义与表示方法 向量组的线性组合与等价 向量、向量组和矩阵之间的关系 定义1 1.什么是向量？如何表示？ 如：一维、二维、三维向量的几何意义 分别是直线向量，平面向量和空间向量。 四维及其以上的向量已无几何意义。 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用　　　　　　等表示，如： 1.什么是向量？如何表示？ 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用　　　　等表示，如： 注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； 3、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行 运算； 2、当没有明确说明是行向量还是列向量时，都 当作列向量. 1.什么是向量？如何表示？ ——向量即是一种特殊的矩阵 例1：已知 求 使得 解： 1、向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 2.向量组与矩阵之间的关系？ 例如 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 可见，矩阵可用向量组表示 2.向量组与矩阵之间的关系？ 反之，向量组可以构成一个矩阵. m个n维列向量所组成的向量组 构成一个 矩阵 2.向量组与矩阵之间的关系？ ——（向量组与矩阵一一对应） 线性方程组的向量表示形式 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 线性组合 称为向量组A的一个线性组合。 定义 表达式 3.向量组与其向量之间的关系？ ——线性组合与线性表示 　　　　　　　　　　　　　　　　 向量 能 由向量组 线性表示． 线性表示 例2： 问 是否可由 线性表示 解：设 比较两端的对应分量得： 求得一组解为 线性表示 线性方程组 有解为 定理1 向量b能由向量组A： 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩. 可由 线性表示 解2： ~ 例2： 问 是否可由 线性表示 若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则向量组B能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价. 定义 设有两个向量组 定理2 向量组B能由向量组A线性表示 ? R(A) = R(A, B). 4.向量组之间的关系，如何判定？ ——等价向量组 推论 向量组 与向量组 等价? R(A) = R(B) = R(A, B) 特殊的线性表示 ——平凡表示 ——这就是向量组 线性相关性 §2 向量组的线性相关性 线性相关性的定义 线性相关的判定方法 小结 一、 线性相关性的定义 定义1 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 则称向量组 是线性无关的，否则称它线性相关． 注意 1、对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关. 例3： 判定向量组 的线性相关性 解：设 比较两端的对应分量得： * 线代第四章