[理学]Ch10：数值计算方法之插值方法.ppt

第10章 插值方法 我们在序言中曾经提到过，计算方法研究的最基本问题是如何把复杂的数学问题求解有效地转化为对有限数位的数进行有限次的四则运算问题。 可以这样认为，插值方法是计算方法成为一门独立的数学分支的重要标志。实际上，在计算机问世以前，人们正是利用插值方法从根本上解决了高等数学中的的各种数值算问题。 早期的插值方法主要应用于计算复杂的函数值，或者说制造数学用表。比如我们很容易制造1到10的具有6位数字的3次方表，反过来我们可以利用这个3次方表借助插值的方法简单地制造出1到1000以内的数的具有6位数字的3次方根表。 第10章 插值方法 对于现代的计算工具来说，插值方法早期的应用领域已经大大缩小了，但它解决问题的原理，思想，方法仍然是我们今天的计算方法的精神支柱。 如果说早期的插值方法主要是利用有理函数的可计算性来解决非有理函数的计算问题，那么今天的插值方法基于同样的思路：利用初等函数的可计算性解决非初等函数的计算问题。 由于非初等函数的计算问题大量出现在数值积分以及求微分方程数值解中，所以我们这一章的学习是直接为后面的课程打基础。 10.1 插值问题概述 假设f(x)是某个表达式很复杂,甚至根本写不出来的实函数,且已知f(x)在某个区间[a,b]上的n+1个互异的点x0,x1,…,xn处的函数值f(x0),f(x1),…,f(xn)，我们希望找到一个简单的函数y=P(x),使得 P(xk)=f(xk),k=0,1,…,n. 注释：如果我们找到了这样的函数y=P(x),我们就可以在一定范围内利用P(x)近似表示f(x),从而解决了相应的计算问题。 1.利用函数值列表来表示插值问题 对于一个插值问题来说，我们的已知条件就是n+1个互异的点处的函数值.回顾高等数学中学习过的函数的表示方法，我们可用下面表1的形式列出已知的函数值，并简称为由表1给出的插值问题。 表1：插值问题的函数值列表 2.重要术语 对于n+1个基点的插值问题，我们称： f(x)为被插值函数; P(x)为插值函数； x0,x1,…,xn为插值基点或插值节点; P(xk)=f(xk),k=0,1,…,n为插值条件； [a,b]为插值区间。 对于早期的插值问题来说，f(x)通常是已知的，比如对数函数，指数函数，三角函数等，这些问题现在已经不用插值法来解决了。 对于现在的许多实际问题来说，我们并不知道f(x)的具体形式，所对应的函数值可能是由测量仪器或其他物理设备中直接读出来的，f(x)只是一个概念中的函数。 3.重要提示： 假如我们得到了某个函数y=f(x)在n+1个互异的点x0,x1,…,xn处的函数值yk=f(xk)，k=0,1,…,n，而对 f(x)的其他特征一无所知，我们同样可以得到一个函数值列表，从而得到一个插值问题。 表2：插值问题的（函数）观测值列表 在这个问题中，我们实际上看不到被插函数，或者说被插函数只是一个概念上的函数。 4.理论问题 由于f(x)的表达式很复杂或者根本就写不出来，因此我们的目的是要利用插值函数p(x)来近似地表示f(x). 对于早期的插值问题来说，我们只是为了得到f(x)的近似值，所以我们要求|p(x)-f(x)|充分小即可。对于现代的问题来说，我们很可能还要求|P’(x)-f’(x)|以及|P//(x)-f//(x)|都充分小。 如果f(x)足够光滑，那么由泰勒级数的理论可以保证当区间充分小，而n充分大时，结果一定是有效的。 对于数值计算问题来说，首先必须有一种方法能算出结果来，可以通过验算来判定方法的有效性。 在我们的课程中，我们在适当的时候也讨论一些理论问题，但重点还是算法，还是编程，还是上机。 10.2一般的多项式插值问题 对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次数不超过n的多项式，记为Pn(x)，则相应的问题就是多项式插值，并且把Pn(x)称为插值多项式。 由于次数不超过n的多项式的一般形式为 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn (1) 所以只要确定了n+1个系数a0,a1,…,an，我们便确定了一个插值多项式。 在这一节中，我们主要解决插值多项式的存在性和唯一性问题，为后面的理论分析打基础，具体的方法留到下面两节讨论。 1．多项式插值的一般方法 对于n个基点的多项式插值问题，我们可以把n+1个插值条件 Pn(xk)=yk,k=0,1,…,n 分别代入到前面给出的（1）式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn 中，即可得到下面的线性方程组，相对说来问题还算简单。