[理学]ch3-45函数单调性与曲线凹凸性_极值与最值.ppt

上页 下页 返回 第三章 中值定理与导数的应用 总界面 结束 济南大学理学院 第三章 中值定理与导数的应用 第四、五节 导数的应用 思考题、 函数的极值 函数的单调性 小结 曲线的凹凸性与拐点 函数的最大值和最小值 内容回顾 洛必达法则 内容回顾 一、函数的单调性 定理1 ） 1. 函数单调性的判别法定理 说明： (2) 定理中的区间换成其它有限或无限区间, 结论仍成立. (1) 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. (3) 函数的单调性是一个区间上的性质, 要用导数在这一区间上的符号来判定, 而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． (4) 区间内个别点处的导数值为零,不影响区间的单调性. 例如： (5) 函数单调性的应用： 可以证明不等式和确定某些方程实根的个数. 2.函数单调区间的求法 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点． 方法: 二、曲线的凹凸性与拐点 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 凸 凹 1.曲线的凹凸性 定义: 定理2(曲线凹凸性的判定) 例1 解： 注意到 2. 曲线的拐点 定义: 拐点的求法: 方法: 例2 解： 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 解： 例3 注: 三、函数的极值 1.函数极值的定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 注: (1) 极值是一个局部性概念: 极值是局部的最值. (2) 在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的；但曲 线上具有水平切线的地方，函数不一定取得极值. 极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 2. 函数极值的求法 定理1 (必要条件) 定义 注: 例如, 可能极值点：驻点和不可导点 定理2 (第一充分条件) (是极值点情形) (不是极值点情形) (临界点) 注：求极值的步骤: 函数的极值必在临界点处取得! 解： 例1 列表讨论 极大值 极小值 解： 例2 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 定理3 (第二充分条件) 注： 第二充分条件只适合于在x0处一阶导数为零而二阶导数不为零的情形. 证 解： 例3 极大值、极小值、无极值. 四、函数的最大值和最小值 （一）问题的提出 问题： 在一定条件下，怎样使 “产品最多” ； “用料最省”；“成本最低”；“效率最高”等 在数学上归结为 求目标函数的最大值或最小值问题。 问1: 目标函数在区间上是否有最值？ 问2: 如果函数的最值存在，在何处取得？ （二）最值的求法 1. 目标函数在闭区间上连续 注：最值点不一定是内点. 步骤: (1) 求驻点和不可导点; (2) 求区间端点及驻点和不可导点的函数值, 比较大小来判断; 解： 例4 比较得 计算 2. 目标函数在开区间内连续 　　 要建造一个体积V为50m3的有盖圆柱形水池，问水池的高和底的半径比例为多少时，用料最省？ 例5 解: 设水池底半径为r，高为h， 则表面积 (1)建立圆柱形水池表面积函数关系式: