[理学]Chapter54 角动量- 不可约张量算符.ppt

2004年10月28日　　星期四 23：15 固定 页眉 页脚 三、相互作用的位能算符 ●微观粒子间相互作用能都具有转动不变性 →位能算符必为零阶张量算符， 　　　　或两个同阶张量算符的标量积 ●设 　则最一般的位能形式为→ 　　↙ 标量力 　　↙ 自旋力 　　　　↓　　 自旋?轨道耦合力 　↘ 张量力 三、相互作用的位能算符 上式中 1) →2) 又 三、相互作用的位能算符 2) →3) 三、相互作用的位能算符 2) →3)（续） §5.4.3　Wigner-Eckart定理 一、定理的表述和证明 ●如何计算不可约张量算符在角动量本征函数间的矩阵元？ →两个定理 ● W-E定理：不可约张量算符在角动量表象中的矩阵元可写为↓ 与磁量子数无关→约化矩阵元 Eugene Paul Wigner Born: 1902 in Budapest Died: 1995 in Princeton Received the Nobel Prize for Physics in 1963 Wigner: The promise of future science is to furnish a unifying goal to mankind rather than merely the means to an easy life, to provide some of what the human soul needs in addition to bread alone. 一、定理的表述和证明 ●此定理表明 1) 仅当 或称满足 矩阵元才不为零 2) 在特定磁量子数m下算出约化矩阵元 　的值 可进而算出任意m下的矩阵元 一、定理的表述和证明 ●证明 第一步 设 则 一定是角动量本征函数 且有 证： 因 又 ↓ 一、定理的表述和证明 一、定理的表述和证明 第二步 改写 ▲以 作用于上式两端 ▲由C-G系数幺正性可得反展开式→ 一、定理的表述和证明 ▲又 利用了转动变换下 ▲两边对欧拉角积分—— 一、定理的表述和证明 代入 即 其中 证毕■ 二、计算几个有用的矩阵元 →零阶张量的约化矩阵元与矩阵元 　相同且只有对角元 §5.4.4　一阶张量投影定理 一、定理的表述和证明 ●一阶不可约张量算符在角动量表象下的 　矩阵元可表为 ●证明 一、定理的表述和证明 ▲证明（续） 一、定理的表述和证明 ●又 利用了零阶张量的矩阵元公式 代入一阶张量投影定理表达式→ 二、定理的应用 ●计算微观粒子的磁矩 ▲磁矩算符 玻尔磁子 　g因子 二、定理的应用 ▲磁矩在球基矢上的表示为 为一阶不可约张量 ▲设｜jm为 的共同本征函数 即 或记为 求磁矩平均值 二、定理的应用 ▲解：根据W-E定理 →仅当M=0时，平均值才不为零 故只需计算 ★由投影定理二式 二、定理的应用 ▲解（续） 因 * ２００9年１2月 第五章 不可约张量算符 §5.4.1　不可约张量算符的定义　　　　　　　及其代数运算规则 Irreducible Tensor 引　言 ●坐标系转动时物理量各有一定的变换规律 ●按坐标系转动下的变换规律将物理量分类 标量，矢量（一阶张量），二阶张量… ●将物理量算符同样分类 标量算符，一阶张量算符，二阶张量算符… 引　言 ●算符的表示依赖于坐标系的选择 笛卡儿坐标系，球坐标系，…… ●不同坐标系的基矢通过幺正变换相联系 一、球基矢 ●在量子力学中为计算方便引入球基矢↓ ●与笛卡儿坐标系基矢的关系 逆变换 一、球基矢 ●性质 ●正交归一条件 练习：证明上式 二、球基矢上的向量算符表示 ●坐标向量 二、球基矢上的向量算符表示 →在球基矢下坐标向量算符的分量为 ●在坐标系转动下按如下规律变换 二、球基矢上的向量算符表示 ●同理可得任一向量算符在球基矢上的表示 ●在坐标系转动下的变换规律 三、不可约张量算符的定义 ●如下变换的算符称为一阶不可约张量算符 ●进而定义 l 阶不可约张量算符↓ 逆变换 四、不可约张量算符的代数运算规则 ●加法：两个 l 阶不可约张量算符之和　　　　　　仍为 l 阶不可约张量算符 证明 四、不可约张量算符的代数运算规则 ●乘法和收缩 两个张量算符的乘法和收缩按下式定义 四、不可约张量算符的代数运算规则 ●乘法和收缩 四、不可约张量算符的代数运算规则 ●乘法和收缩 五、零阶张量算符及张量算符的标量积 ●当 时可收缩得到零阶张量 左=常数?零阶张量，在转动下不变→右亦然 ●称式右为两个 l 阶不可约张量的标量积 记为 五、零阶张量算符及张量算符的标量积 ●一阶不可约张量→熟知的标量积形式 例：两个坐标矢量的标量积 六、不可约张量算符的Racah定义 Giulio (Yoel) Racah (1909 - 1965) Israeli phy