[理学]D1_3 连续函数.ppt

第三节 函数的间断点 定理1.25 （复合函数的连续性） 例如 例2. 求 课堂练习 课堂练习 3.求 6 3 闭区间上连续函数的性质 推论: 定理1.30 (介值定理) 例1. 证明方程 思考与练习 作业 2. 设 时 提示: f(x)为连续函数. 0 课堂练习 4.求 5.求 设函数 在 x = 0 连续 , 则 a = , b = . 解: 考研题 解 非初等函数连续性问题举例 例3 跳跃间断点 注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有 间断点，结论不一定成立 定理1.28 在闭区间上连续的函数在该区间 上一定有最大值和最小值 即: 设 则 使 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理2. ( 零点定理 )设函数f(x) 在 [a,b] 上 至少有一点 连续且 使 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 使 设函数f(x)在[a,b]上连续 函数 在[a,b]上连续, f(x) 推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 在区间(0,1)内至少有一个根. 在[0,1]上连续 《高等数学》 土木113、114 2011－2012学年第一学期 * 几个常用的等价无穷小量 第一章 连续函数 一、连续函数的概念与基本性质 二、函数的间断点及其分类 三、闭区间上连续函数的性质 函数连续性的定义 函数的连续性描述函数的渐变性态, 在通常意义下，对函数连续性有三种 描述： ? 当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的； ? 自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变； ? 连续函数的图形可以一笔画成,不断开. 例如： 定义1.14: 在x0的某邻域内有定义 , 则称函数f(x)在x0处连续 设函数 y = f(x) 如果 1 连续与间断 注意1 函数 y = f(x)在x0处连续蕴含以下三个条件，缺一不可: (1) f(x)在点x0 即 f(x0) 存在； (2) 极限 (3) 存在 ; 有定义 , 以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性. 注意2 函数 y = f(x)在x0处连续意味着极限运算与函数可以交换顺序. 左连续 定义 (f(x)在x0处左连续、右连续) 右连续 定理 f(x)在 x0 处连续 f(x)在 x0处即左连续又右连续. 定义1.15： (函数在区间上的连续性) (1) 函数f (x) 在点x0 (2) 函数f (x) 在点x0 不存在; (3) 函数f (x) 在点x0 存在 , 但 不连续 : 设f(x)在点x0 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点x0 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 无定义 ; 间断点的分类 根据间断点的不同情况，可以分为二类： 可去型间断点 可去型间断不是本质性的间断,可以重新 定义, 使其连续. (1). 第一类间断点 例如 跳跃间断点 例 符号函数 (2). 第二类间断点 例 第二类间断点有无穷型间断和震荡型间断 为振荡间断点 . 为无穷间断点 . 同济P.64. 如图 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. ★ ★ 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 2 连续函数的基本性质 定理1.23： 定理1.24 （反函数的连续性） 设函数 于是 故复合函数 在点x0连续,且 函数y = f(u)在点u0连续，即 在点x0连续 是由连续函数链 因此 在 上连续 . 复合而成 , 3 初等函数的连续性 定理1.26 基本初等函数在其定义域上是连续的 基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 定理1.27 初等函数在其定义区间上是连续的 的连续区间为 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 例如, 注意　 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 例如, 在0点的邻域内没有定义. 注意　2. 初等函数求极限的方法代入法 函数在区间[1,+∞)上连续 例1 求 解 它的一个定义区间是 是初等函数