[理学]D1_5连续函数.ppt

第五节 间断点的定义 间断点分类: 例如: 定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 例如, 二、初等函数的连续性 二、介值定理 例. 证明方程 定理3. ( 介值定理 ) 5.4 函数的一致连续性 * 目录 上页 下页 返回 结束 5.2 连续函数的运算性质与初等函数的连续性 5.1 函数的连续性概念与间断点的分类 连续函数 第一章 5.3 闭区间上连续函数的性质 5.4 函数的一致连续性 5.1 函数的连续性概念与间断点的分类 函数的连续性 自然界中各种变量的变化， 大体分为渐变 和突变两类： 气温的变化 人的身高变化 } （渐变） 气温、 身高 （函数值） 随时间 （自变量） 逐渐变化 大地震地壳断裂 （突变） 地壳振幅 （函数值） 在 某时刻 （自变量） 突变 设 函数 定义在 的某邻域内. 称 为自变量的改变量， 为函数（值）的改变量， 或因变量的改变量. 定义5.1 设有函数 若 或 则称函数 在 处连续. 函数 在点 连续必须具备下列条件: (1) 在点 有定义 , 即 存在 ; (2) 极限 存在 ; (3) 由定义可知 左连续和右连续： 设 函数 在 的某左 邻域内有定义。 若 （右） 则称函数 在 处左 连续. （右） 左连续 右连续 当 时, 有 函数 在点 连续有下列等价命题: 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 例5.1 在区间 上连续函数的集合记作 证明： 幂函数 证: 由极限的乘法运算法则， 有 所以 在 处连续. 由 的任意性可知， 由此可知: 有理整函数 在 上连续 . 有理分式函数 在其定义域内连续. 在 内连续 . 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 例5.2 证明函数 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一, 函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡, 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 5.2 连续函数的运算性质与初等函数的连续性 定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. 在其定义域内连续 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, 在 上连续单调递增， 其反函数 (递减) (证明略) 在[?1, 1]上也连续单调 (递减) 递增. 在 上连续 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 于是 故复合函数 又如, 且 即 单调 递增, 是由连续函数链 因此 在 上连续 . 复合而成 , 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如, 的连续区间为 (端点为单侧连续) 例5.8 讨论函数 的连续性，并判断间断 点的类型. 解 由三角函数的连续性和定理5.1知，除了 和 之外， 在 内其余点均连续. 由于 所以 的第一类间断点 (可去间断点). 是 所以 是 的第二类间断点 (无穷间断点). 又 所以 也是 的第一类间断点 (可去间断点). 又 例5.9 讨论函数 的连续性. 解 由于 是分段函数，故先讨论它在 处的 连续性. 因为 所以 是 的第一类间断点 (跳跃间断点). 又因为 所以 是 的第二类间断点 (无穷间断点). 因此，除 是 外 上的连续函数. 幂指函数的连续性与极限 幂指函数是指形如 的函数，其中 是两个函数，且 由于 所以 例5.11 求 解 因为 利用等价无穷小 所以 5.3 闭区间上连续函数的性质 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 值和最小值.(最大值最小值定理) 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 ( 证明略 ) 推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 一个根 . 证: