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高等数学 习题课 一、 函数 2. 函数的特性 5. 隐函数的定义 常用几个的初等函数公式 例1. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 例2 求 例3. 设 例5. 设函数 二、 极限 2. 无穷小 3、 极限的性质 4） 极限与无穷小的关系 5、极限存在准则 6. 两个重要极限 7、无穷小的比较 8、无穷小的替代定理 等价无穷小的性质及其应用 9. 求极限的基本方法 例1. 求下列极限： （3） 令 （7） 例2：求极限 (4) 高等数学 一般: （7）设 （8） (10) 例3. 求极限 例6 求 例7. 求 例9 例10 确定常数 a , b , 使 例11. 当 例12 求 三、 连续与间断 3、连续函数的运算与初等函数的连续性 4. 闭区间上连续函数的性质 例2 例4：证明方程 例5. 设 f (x) 定义在区间 P37 P37 P43 P46 P55 P55 B3 作业 (10) 例12. 设 例3. 求 例4. 例5. (10) 则有 复习: 若 （9） 已知 求 解 解: 原式 原式 例4 原式＝ 或 例5 原式＝ 解： 利用数列极限与函数极限的关系 解: 原式 = 1 (2000考研) 例8 原式＝ 有 解： 由于 解: 原式 故 于是 而 或 时, 是 的几阶无穷小? 解: 设其为 的 阶无穷小, 则 因 故 注：分子的最低次数是 和差取大 或 解: 令 则 利用夹逼准则可知 例13已知数列 的极限存在，求此极限。 解：设 1. 函数连续的等价形式 有 2. 函数间断点 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 1） 有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为0）， 仍为连续函数。 2）单值单调连续函数的反函数在对应区间上也是单值 单调的连续函数。 3）连续函数的复合函数也是连续函数。 4）初等函数在其定义域内都是连续函数。 根据 4），求初等函数在连续点处极限，只需直接求 函数值即可。 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 . 例1. 设函数 在 x = 0 连续 , 则 a = , b = . 解: 1. 求 的间断点, 并判别其类型. 解:由题可见 x = –1 为第一类可去间断点 x = 1 为第二类无穷间断点 x = 0 为第一类跳跃间断点 均为间断点 有无穷间断点 及可去间断点 解: 为无穷间断点, 所以 为可去间断点 , 极限存在 例3. 设函数 试确定常数 a 及 b . 在 内至少存在一个实根。 证： 令 且 上连续， 由闭区间连续函数根的存在定理知 内至少存在一点 即方程 在 内至少存在一个实根。 上 , , 若 f (x) 在 连续, 提示: 且对任意实数 证明 f (x) 对一切 x 都连续 . 证明 讨论: 例6 由零点定理知, 综上, (5) 6． 分解 B(3) B3(4) B 3 求 的间断点， 所以 是第一类间断点， 时，使 所以 为第一类间断点，且可去间断点。 并说明其类型. 解：可能的间断点： 分段点 当 不存在， 为第二类间断点， 为第二类间断点， 时， 无定义， 不存在，为第二类间断点. 当 当 求 的间断点， 并说明其类型. P74 2; 4 (1) , 5 (1) ; 9 (2) , (3) ,（5）（6) ; 10 ; 11 ; 12; 13 由夹逼准则可知 证: 显然 证明数列 有极限. 即 单调增, 又 存在 “拆项相消” 法 * 主讲教师: 王升瑞 第八讲 三、 连续与间断 一、 函数 二、 极限 函数与极限 第一章 1、 函数的概念 1） 函数的定义 设 x 与 y 是两个变量， 当 x 在其变化范围内任取定一 数值时， y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应。 则称 y 是 x 的函数， x为自变量； 为因变量。 2） 函数的两要素 （1） 定义域 （自变量的变化范围）。 （2） 对应规律（法则） f 。 3) 函数符号 y = f ( x ) 中 “ f “表示 y 与 x 之间的对应规律。 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 设函数 为单射, 反函数为其逆映射 4. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 定义： 的定义域内， 注; 对于函数主要掌握把一个函数通过步骤，熟练地 分解为几个简单函数。 6. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与复 复合而成的一个式子表达式的函数称为初等函数.