[理学]d2_1数列的极限与函数的极限.ppt

微积分I 第二章 极限与连续 1、数列极限 2、函数极限 3、极限的性质与运算法则 4、极限存在准则及两个重要极限 5、无穷小的比较与应用 6、函数的连续性 1、刘徽的割圆术 2、古希腊阿基里斯悖论 * * 教师：陈新宏 单位：数学与计算科学学院 一、极限的引入 割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至不可割，则与圆周合体而无所失矣。 刘徽 我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术（参看光盘演示）, 就是极限思想在几何学上的应用. 公元前400多年，古希腊的芝诺提出的，若阿基里斯让乌龟几步，则阿基里斯永远也追不上乌龟的悖论 极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义. 二、数列的极限 1、数列极限的定义 (1)数列: 无穷多个按顺序排列的数 例如 . . . . x1 x3 xn x2 0 0 当 无限增大时, 无限接近常数A , 即 即 0 即 1 0 即 即 即 或者说，不存在 极限不存在 例1.求极限 解：原式= 练习一下 数列极限的定义:（定义1.1) 总存在正整数N,当n N 时，恒有 记作: （自然数） ,当 时， 恒有 成立, 则 或称数列 收敛于数 否则,称数列是发散的. 或 设有数列 ，若存在常数A，使对于任意给定的正数 成立, 则称当 时 ， 数列 以A为极限。 …. …. .. …....… . … . . . . . 数列极限的几何解释: (1)定义中的 是任意给定的. 用来刻划 “ 无限接近于数 ”. (2)正整数N与 有关,它是随 的给定而确定. 且不唯一. 注意 有 当 只有有限项(最多N项)落在邻域之外. 都落在 N以后所有项: ,当 时， 恒有 成立, 则 例2. 证明 证 要使 只要 即可 取 ,则当 时, 成立, 所以, , 当 时， 恒有 成立, （不作要求） 例如,数列 取奇数项: 取偶数项: 都是(1)的子数列. 又如, 取奇数项: 取偶数项: 2、子数列及其敛散性 都是(2)的子数列. 1 1 1 1 -1 在数列 中任意抽取无限多项， 先后次序， 称为原数列 的一个子数列. 并保持这些项在原数列中的 这样得到的一个数列， ? 3、收敛数列与其子数列的关系 (1).逆命题不成立. 子数列收敛的数列未必收敛. (2).逆否命题成立. 子数列发散的数列一定发散. ,则它的任一子数列也收敛于 收敛于 如果数列 注意 结论 充要条件之一 例如,数列 例如,数列 练习一下 4、收敛数列的性质 定理1.1 若数列 收敛, 且 则极限值A唯一. 极限的唯一性 定理1.2 若数列 收敛, 则数列 必有界. 收敛数列的有界性 注意 (1).定理1.3的逆命题不成立. 有界数列,未必收敛. (2).定理1.3的逆否命题成立. 无界数列必发散. 有界但发散. 例如,数列 无界, 故发散. 提高题目 例3 设 ，求 三、函数的极限 1、当 时,函数 的极限 0 1 注意： 1、 时函数 的极限 对函数 ，当 无限增大时，函数值 无限地趋近于常数A，则称当 时，函数 以A为极限。 对于任意给定的正数 ,总存在正数 M , 则称当 时，函数 以A为极限。 记作: 当|x|M时，恒有 注意 (1).定义中 是任意给定的.用来刻化 A的接近程度 (2).正数M与 有关,它是随 的给定而确定.用来刻化|x| 充分大的程度 定义2.1 几何解释 x y o A M -M 当 时， 则 恒有 成立， “? - M 语言 ”定义