[理学]D3_1微分中值定理.ppt

费马(1601 – 1665) 拉格朗日 (1736 – 1813) 柯西(1789 – 1857) 洛必达(1661 – 1704) 第三章 第一节 一、罗尔( Rolle )定理 罗尔（ Rolle ）定理 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 例1. 证明方程 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 例2. 证明等式 例3. 证明不等式 三、柯西(Cauchy)中值定理 证: 作辅助函数 柯西定理的几何意义: 例4. 设 例5. 试证至少存在一点 例5. 试证至少存在一点 内容小结 思考与练习 作 业 费马(1601 – 1665) 拉格朗日 (1736 – 1813) 柯西(1789 – 1857) 第二节 一、 证: 推论1. 例1. 求 例2. 求 二、 3) 例3. 求 例4. 求 说明: 3) 若 洛必达(1661 – 1704) 定理 1 中 换为下列过程之一: 推论 2. 若 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 洛必达法则 定理1 解: 原式 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 洛 洛 解: 原式 思考: 如何求 ( n 为正整数) ? 洛 型未定式 存在 (或为∞) 定理 2. (洛必达法则) 时, 结论仍然成立. ( 证明略 ) 说明: 定理中 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. 定理2 解: 原式 例4. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式 洛 洛 洛 (2) n 不为正整数的情形. 从而 由(1) 用夹逼准则 存在正整数 k , 使当 x 1 时, 例4. 例3. 1) 例3 , 例4 表明 时, 后者比前者趋于 更快 . 例如, 事实上 用洛必达法则 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 极限不存在 不能用洛必达法则 ! 即 法国数学家, 他著有《无穷小分析》 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 . 则 ”. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出 运行时, 点击“二. 拉格朗日中值定理”, 或“拉氏”按钮，或相片可显示.拉格朗日的简介，运行结束可自行返回。 运行时, 点击 “费马引理” 或“费马”按钮, 或相片, 可显示费马简介, 并自动返回 运行时,点击标题“三、柯西----” 或 “柯西”按钮, 或相片, 可显示柯西简介, 并自动返回. * 目录 上页 下页 返回 结束 费马 法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出 的费马大定理: 历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德 鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 . 引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的. 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一. 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》等, 有思想有创建, 响广泛而深远. 对数学的影 他是经典分析的奠基人之一, 他为微积 分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 法国数学家, 他著有《无穷小分析》 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 . 则 ”. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用 一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章 费马(fermat)引理 且 存在 证: 设 则 费马 证毕 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f