[理学]D94重积分的应用.ppt

第四节 1. 能用重积分解决的实际问题的特点 例1. 求曲面 例8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量. 提示: * 高等数学 * * 目录 上页 下页 返回 结束 * 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 重积分的应用 第九章 所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 ? 的立体的体积为 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面 的切平面方程为 它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为 (记所围域为D ) 在点 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为? 的内接 锥面所围成的立体(锥面上方部分)的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 二、曲面的面积 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d? , (称为面积元素) 则 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为 则有 即 若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 且 例3. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 则 出的面积 A . 例4. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 设球面方程为 球面面积元素为 方法2 利用直角坐标方程. (见书 P109) 方法1 利用球坐标方程. 三、物体的质心 设空间有n个质点, 其质量分别 由力学知, 该质点系的质心坐标 设物体占有空间域 ? , 有连续密度函数 则 公式 , 分别位于 为 为 即: 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 将 ? 分成 n 小块, 将第 k 块看作质量集中于点 例如, 令各小区域的最大直径 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 的质点, 即得 此质点 在第 k 块上任取一点 同理可得 则得形心坐标： 若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, (A 为 D 的面积) 得D 的形心坐标: 则它的质心坐标为 其面密度 — 对 x 轴的 静矩 — 对 y 轴的 静矩 例5. 求位于两圆 和 的质心. 解: 利用对称性可知 而 之间均匀薄片 例6. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线 的方程为 内储有高为 h 的均质钢液, 解: 利用对称性可知质心在 z 轴上， 采用柱坐标, 则炉壁方程为 因此 故 自重, 求它的质心. 若炉 不计炉体的 其坐标为 四、物体的转动惯量 设物体占有空间区域 ? , 有连续分布的密度函数 该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量: 对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 如果物体是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分. 例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 解: 建立坐标系如图, 半圆薄片的质量 的转动惯量. 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 则 球体的质量 设球 所占域为 (用球坐标) G 为引力常数 五、物体的引力 设物体占有空间区域 ?, 物体对位于原点的单位质量质点的引力 利用元素法, 在?上积分即得各引力分量: 其密度函数 引力元素在三坐标轴上的投影分别为 对 xoy 面上的平面薄片D , 它对原点处的单位质量质点 的引力分量为 例9. 设面密度为μ ,半径为R的圆形薄片 求它对位于点 解: 由对称性知引力 处的单位质量质点的引力. 。 例10. 求半径 R 的均匀球 对位于 的单位质量质点的引力. 解: 利用对称性知引力分量 点 * *