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[理学]fst-2007信息光学第三讲
二维傅里叶变换和 二维不变线性系统 二维傅里叶变换定义 二维傅里叶变换定义 二维傅里叶变换定义续 傅里叶频谱概念和狄里赫利条件 根据欧拉公式, 是频率为 的余(正)弦函数。傅里叶反变换式表示函数 是各种频率为 的余(正)弦函数的叠加,叠加时的权重因子是 。因此傅里叶变换 常称为函数的频谱 傅里叶变换存在的充分条件有若干形式,绝对可积和狄里赫利条件是其中一种 狄里赫利条件可具体表述为:“在任一有限矩形区域里,必须只有有限个间断点和有限个极大极小点,而且没有无穷大间断点” 关于存在性的两点说明 在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明,作为时间或空间函数而实际存在的物理量,总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说,物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。因此,从应用角度来看,可以认为傅里叶变换总是存在的 在应用问题中,也常遇到一些理想化的函数,例如余(正)弦函数、阶跃函数以至最简单的常数等。它们都是光学中经常用到的,而且都不能满足傅里叶变换的存在条件,在物理上也不可能严格实现。对于这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换 可以认为,本书内涉及的函数都存在相应的傅里叶变换,只是有狭义和广义的区别 可分离二维傅里叶变换 如果函数 在直角坐标系中是可分离的,即 这种可分离变量函数的二维傅里叶变换也是可分离的,它可以表示成两个一维傅里叶变换的乘积 这一点可以直接利用一维和二维傅里叶变换定义进行证明。实际上,许多光学元器件能够用可分离变量函数表示,因此这一性质是很有用的。 极坐标下的二维傅里叶变换 光学系统常是以传播方向为光轴的轴对称系统。在垂直于光轴的物(像)平面、透镜平面、光瞳平面上放置的透镜、光瞳等元器件常常具有圆对称性。此时用极坐标比直角坐标更方便原函数,因此需要研究极坐标下的二维傅里叶变换 假设 平面上的极坐标为 ; 平面上的极坐标为 ,则直角坐标与极坐标的变换可表示为 空域平面 频域平面 极坐标下的二维傅里叶变换 傅里叶—贝塞尔变换 当函数 具有圆对称性时,可以表示成 。代入极坐标下的二维傅里叶变换的定义得到 利用贝塞尔函数关系式 圆对称二维傅里叶变换变成 同样,圆对称二维傅里叶反变换可变成 圆对称函数的傅里叶正变换与逆变换形式相同,又称作傅里叶—贝塞尔变换 定义: 是圆对称函数 虚、实、奇、偶函数傅里叶变换的性质 是实函数,即 时,有 这样一种对称形式的函数称为是“厄米型 ”函数 是实值偶函数,则 也是实值偶函数 是实值奇函数,则 也是实值奇函数 这些性质可以自行推导,灵活应用 二维傅里叶变换定理 (1) 如果 则有以下定理: (1)线性定理: (2)相似性定理(空间缩放): 二维傅里叶变换定理 (2) 二维傅里叶变换定理 (3) (4)帕色伐(Parseval)定理 二维傅里叶变换定理(4) (5)卷积定理: 即,空间域两函数的卷积的傅里叶变换对应着两者变换式的乘积 而且,空间域两函数的乘积的傅里叶变换对应着两者变换式的卷积, 二维卷积定义为 二维傅里叶变换定理(5) (6)互相关定理(维纳——辛钦定理) :两函数的互相关定义为 显然两函数的互相关可以表达为卷积的形式 另一方面可以证明 因此由卷积定理得 该式说明两函数的互相关与其互谱密度构成傅里叶变换对 ,因为习惯称等式右面为两函数的互谱密度 二维傅里叶变换定理(6) (7)自相关定理,和一维时相同,有 自相关定理表明一个函数的自相关与其功率谱构成傅里叶变换对 (8)傅里叶积分定理:在函数 的各个连续点上有 对函数相继进行正变换和逆变换,重新得到原函数;而对函数相继进行两次正变换或逆变换,得到原函数的“倒立像”。 傅里
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