[理学]lecture 11插值综述.ppt

扩展牛顿法—用牛顿差商表(重节点差商)构造Hermite插值 给定插值点 (xi, f (xi), f (xi)), i = 0,1,2,…, n, 重新定义插值节点 序列： z2i = z2i+1 = xi, i = 0,1,2,…, n, 即 二阶以后的各阶差商，直接按差商公式计算。由此得到差商型Hermite插值公式： 差商表： z f (z) f [zi, zj] 插值逼近的Matlab函数 确定拟合曲线的方法： 例5.1.2 在多个景点之间修一条主干道。 已知景点(xi, yi), i=1,2,…, m. 设 φ(x) = a +b x, 求 a，b 使残差的平方和达到最小。记δi = φ(xi)–yi， （1）选择曲线类型； （2）若曲线类型难以确定，画散点图； （3）用多种曲线类型拟合，选择最小二乘法意义下误差最  小的拟合曲线。 参数 a 和 b 必须满足一阶必要条件： 若取 F(x)=a +b x，此时最小二乘逼近称为最小二乘拟合直线 一、最小二乘拟合直线 记 要使 即 化简得 称为正规方程组或法方程组 或 解之得 记 则可得 例5.1.3 给出21组数据，用线性函数拟合鱼的种类和鱼的数量的关系，m = 21。 解 设 p(x) = a + b x, 经计算： 法方程组： 二、一般最小二乘拟合多项式 对于离散数据: (xk, yk), k=1,2,…,m, 用 n (nm) 次多项式来拟合曲线。设多项式 的系数是下述极小值问题的解： 一阶必要条件： 直接计算易得 故 或 称为正规方程组。可表示为 * 插 值 逼 近 第 四 章 §3. Hermite 插值 Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，插值函数连续，但都存在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点。不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度），甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特（Hermite）插值多项式。下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况。 则称 H2n+1(x) 为函数 y = f (x) 的2n +1次Hermite插值多项式。 Hermite插值的构造——插值基函数法 满足 给定 n+1个节点 x0, x1,…,xn 上的函数值 yi 和导数值 yi ，可以构造 2n+1 次Hermite插值多项式 其中， hi(x), gi(x) 分别为对应于函数值和导数值的不高于 2n+1 次插值基函数，它们满足 Hermite插值的误差估计： 当 f (x)∈C2n+2[a, b]时, 存在ζ∈(a, b), 使 对于特殊情形 n=1，由于 得两点三次Hermite插值多项式 及其余项 以偶数节点开始 以奇数节点开始 重节点差商定义： 函数值取相应节点上的函数值, 即 f(z2i) = f(z2i+1) = f(xi), i = 0,1,2,…, n ； 对于一阶差商， 例4.3.4 已知 计算 f (1.36)。 解 x f (x) f (x) 1.2 0.6 1.2 0.6 1.4 0.9 1.4 0.9 1.6 1.1 1.5 1.0 5 ?4 1.5 ?45 55/4 1175/8 0.5 0.7 §4. 分段多项式插值 n 次Lagrange插值多项式的误差： 插值多项式与被插函数的逼近程度同分点的数目和位置有关。一般地，分点越多，逼近程度越好，但也有例外。 例4.4.1 不同次数的Lagrange插值多项式的比较图 Runge现象： 插值多项式在插值区间上发生剧烈的震荡。它揭示了高次插值多项式存在的缺陷。 产生的原因：误差由截断误差和舍入误差两部分组成，而在插值的计算过程中，舍入误差可能会扩散或放大。 n越大，端点附近抖动越大 由于高次多项式插值很可能产生Runge现象，在多项式插值中一般不宜选取高次多项式。 一、分段线性插值 给定 N +1个插值点： (xi， yi)， i = 0, 1, 2,…, N. 过这 N +1 个点，可作折线函数 P(x)