第四章 系统的稳定性分析.ppt

4.1.3 Lyapunov意义下的稳定性定义 系统 的平衡状态xe的球域S(r), r0, 是所有满足下式的状态的集合 为向量的2范数或两点的距离，即 Lyapunov意义下的稳定. 定义4.2.1 系统 的平衡状态xe, 如果对应于每一个ε0, 存在一个δ0（与ε和t0有关）, 使得对tt0, 初速状态在S(δ)内的轨迹不脱离S(ε), 此平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的. Lyapunov意义下的渐近稳定 定义4.2.2 系统 的平衡状态xe, 如果对应于每一个ε0 , 存在一个δ0（与ε和t0有关）, 使得初始状态在S(δ)内的轨迹始终在S(ε)内,并且当t →∞时x(t)→xe, 此平衡状态称为在Lyapunov意义下是渐近稳定的. 定义4.2.3 对系统的所有状态，如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态xe=0称为大范围渐近稳定。 或者说，如果系统的平衡状态渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称系统的平衡状态为大范围渐近稳定的。 大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。 Lyapunov意义下的不稳定 平衡状态不稳定不能说明轨迹将趋于无穷远处, 这是因为轨迹还可能趋于某个极限环. 定义4.2.4 系统 的平衡状态xe, 如果存在ε0, 对不管多么小的δ0, 在球域S(δ)内始终存在状态x0, 使得以x0为初始状态的轨迹x(t), tt0,不能完全在S(ε)内, 此平衡状态称为在Lyapunov意义下是不稳定的. 稳定性概念的几点说明: 稳定和渐近稳定的定义均是针对平衡点附近的局部性质. 对于线性系统, 渐近稳定等价于大范围渐近稳定. 4.2 Lyapunov稳定性第二方法 正定和负定函数 Lyapunov稳定性定理 Lyapunov稳定性定理的应用 标量函数的正定性 对域Ω（域Ω包含状态空间的原点）上定义的标量函数V (x)，如果对所有域Ω中的非零状态 x ≠ 0 ，有V (x)0，且在x=0处有V (0) =0，则V (x)称为正定函数。 对域Ω（域Ω包含状态空间的原点）上定义的时变函数V (x, t ) ，如果V (x,t)有一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数W (x)，使得 V (x,t) W (x), 对所有t≥t0， x ≠ 0 V(0,t) =0, 对所有t≥t 0 则称时变函数V (x,t )是正定的。 标量函数的负定性 如果?V (x)是正定函数，则标量函数V(x )称为负定函数。 正半定函数 对域Ω（域Ω包含状态空间的原点）上定义的标量函数V (x) ，如果V(x ) ≥ 0，则V(x ) 称为正半定函数。 负半定函数 如果－V (x)是正半定函数，则标量函数V (x)称为负半定函数。 标量函数的不定性 如果在域Ω内，不论域Ω多么小， V (x)既可为正值，也可为负值，则标量函数V (x)称为不定的标量函数。 例 Lyapunov第二方法 用 ?? 或者 来表示Lyapunov函数，Lyapunov函数关于时间的导数是 Lyapunov定理 考虑如下非线性系统 原点是该系统的平衡状态。 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 ，且满足以下条件： 1、 正定； 2、沿系统的任意轨线， 关于时间t的导数 是负定的； 则系统在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。满足以上条件 1和 2 的标量函数 称为是系统的一个Lyapunov函数。 充分条件→充要条件 例 考虑如下非线性系统 显然原点 是唯一的平衡状态，试分析其稳定性。 1. 考虑标量函数： 显然，V ( x )是正定的。 2. 沿系统的任意轨线V ( x )对时间的导数