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[理学]liu10-2二重积分的计算2

5. 计算步骤及注意事项 1. 交换积分顺序 *三、二重积分换元法 证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 因此面积元素的关系为 例1. 计算 例2. 计算由 例3. 试计算椭球体 练 习 题 提示: 积分域如图 备用题 2. 计算二重积分 解 o x y 3. 解 先去掉绝对值符号,如图 4. 解 如图D用极坐标表示为: 所以 5. 解 由二重积分的中值定理: 故 定积分换元法 满足 一阶偏导数连续; 雅可比行列式 (3) 变换 则 定理: 变换: 是一一对应的 , 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩 形, 其顶点为 通过变换T, 在 xOy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 则 同理得 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 从而得二重积分的换元公式: 例如, 直角坐标转化为极坐标时, 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 所围成的闭域. 解: 令 则 * * 1.二重积分在直角坐标下的计算公式 复习 是乘积吗? 看P154 T3 (在积分中要正确选择积分次序) [Y-型] [X-型] ★如果积分区域为: ★如果积分区域为: 外限定限方法------投影法 内限定限方法--平行线穿越法 2.计算步骤及注意事项 ? 画出积分域 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 积分域分块要少 内积分好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) (充分利用对称性) 3.二重积分的应用 ? 可求平面图形D的面积 ? 可求曲顶柱体的体积. “平行线穿越法” 例如 或者 积不出来, 计算 其中D是由中心在原点,半径 为a的圆周所围成的闭区域. 先x后y同样积不出来. *三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 回忆 o y x x y 以极点为圆心,半径为a的圆. 点P的直角坐标(x,y)与极坐标 的关系: 1.考察 中 在极坐标系 中的情况: 从极点出发, 极角为 的一条射线. 用 常数, 常数分割D 即为二重积分由直角坐标转换为极坐标的变换公式 记忆方法: 先 后 2.二重积分化为二次积分的公式(1) (1)区域特征如图 (极点在区域D的外部) 次序: 特殊地,区域特征如图 (极点在区域D的外部) 次序: 先 后 2.二重积分化为二次积分的公式(2) (2)区域特征如图 (极点在区域D的边界上) 次序: 先 后 2.二重积分化为二次积分的公式(3) (3)区域特征如图 (极点在区域D的内部) 极坐标系下区域的面积 次序: 先 后 说明: 1.应掌握把直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分. 2.应掌握化极坐标系下的二重积分为二次积分. 定限方法----射线穿越法: 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) 例1. 试推导出用极坐标计算区域D的面积公式. 解 设区域D的面积为 则 如果区域D为如图所示, 则有 特殊地: 例2. 计算 其中D是由中心在原点,半径 为a的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系下, 解 x y o 例4. 计算 的体积. 解 由二重积分的几何意义及 对称性知: 其中D为圆域: 在极坐标系中, D可表示为: 于是 例5. 解 由二重积分的几何意义及对称性知: 求球体 与圆柱面 的公共部分的体积. 其中D为半圆周 及x轴所围成的区域. 于是 x y o D 备用 计算 其中D为由圆 及直线 所围成 的平面区域. 解 例6. 将 表示为极坐标下的累次积分 解 在极坐标系下, D可表示为: 于是 原式 圆方程为 直线方程为 例7. 设f(x)连续,则 等于 2006 D可表示为: 例8 计算二重积分 ,其中积分区域为 解法1如图, 解法2如图,选极坐标系,用减法原理 选极坐标系 例9 计算二重积分 其中积分区域为 1 1 解 如图,记 于是 1.何时用极坐标? 小结 2.应掌握把直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分. 3.计算:化为累次积分. 定限方法----射线穿越法: 4.二重积分在极坐标系下的计算公式 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) (充分利用对称性,几何意义和性质) “平行线穿越法” 练习(1994) 解一 利用极坐标计算 作

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