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吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 第三章 微分中值定理与导数的应用 §3-1 微分中值定理 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在上每一点都有不垂直于轴的切线，且两端点的连线与轴平行的不间断的曲线来说，至少存在一点C，使得其切线平行于轴。 C A B 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理 费马引理 设函数在点的某邻域内有定义( 并且在处可导( 如果对任意( 有 (或)( 那么( 证明：不妨设时，（若，可以类似地证明）. 于是对于,有, 从而当时, ; 而当时, ; 根据函数在处可导及极限的保号性的得 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 所以, 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数满足：（1）在闭区间上连续( （2）在开区间内可导( （3）在区间端点处的函数值相等，即( 那么在内至少在一点 ( 使得函数在该点的导数等于零，即( 证明：由于在上连续，因此必有最大值M和最小值，于是有两种可能的情形： （1），此时在上必然取相同的数值M，即 由此得因此，任取，有 （2），由于，所以M和至少与一个不等于在区间 端点处的函数值.不妨设(若,可类似证明),则必定在有一点使. 因此任取有, 从而由费马引理有. 证毕 例1 验证罗尔定理对在区间上的正确性 解 显然 在上连续，在上可导，且, 又, 取,有. 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个. 例如 在上除不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间内找不到一点能使. 例如 除了点不连续外，在上满足罗尔定理的一切条件，但在区间上不存在使得的点 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 例如除了外，在上满足罗尔定理的一切条件，但在 区间上不存在使得的点 又例如满足定理的一切条件，而 2．罗尔定理的应用 罗尔定理1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式. 例2 证明方程有且仅有一个小于1的正实根. 证明：设, 则在上连续，且 由介值定理存在使, 即为方程的小于1的正实根. 设另有使因为在之间满足罗尔定理的条件, 所以至少存在一个（在之间）使得. 但, 矛盾, 所以为方程的唯一实根. 拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子（见后面）. 二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 1.拉格朗日中值定理 在实际应用中，由于罗尔定理的条件（3）有时不能满足，使得其应用受到一定限制。如果将条件（3）去掉，就是下面要介绍的拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数满足（1）在闭区间上连续( （2）在开区间内可导( 那么在内至少有一点( 使得等式 成立( 几何意义( 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 上述等式可变形为，等式右端为弦AB的斜率, 于是在区间上不间断且其上每一点都有不垂直于轴切线的曲线上，至少存在一点C，使得过C点的切线平行于弦AB. 当时，罗尔定理变为拉格朗日中值定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，下面用罗尔定理证明拉格朗日中值定理. 分析与证明：弦AB的方程为 曲线减去弦AB，所得曲线AB两端点的函数值相等. 作辅助函数 于是满足罗尔定理的条件，则在 内至少存在一点，使得. 又, 所以 即在内至少有一点，使得.证毕 说明: 1. 又称为拉格朗日中值公式（简称拉氏公式）, 此公式对于也成立; 2．拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系；当设在上连续, 在内可导时, 若 , 则有 当时, 也可写成 吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义 试与微分比较( 是函数增量的近似表达式( 而是函数增量的精确表达式( 所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式, 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 推论 若函数在区间I上导数恒为零，则在区间I上是一个常数. 2. 拉格朗日中值定理的应用 拉格朗日中值定理1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式. 例3 证明 证明：设 由于 , 所以 又 , 即. 故. 例4 证明当时, 证明: 设, 则在上满足拉氏定理的条件 于是 又, 于是 而, 所以, 故 从而 , 即 三、柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数及在闭区间上连续,在开区间内可导,且 吉林建筑工程学院城建学院高等数