[理学]scut7-2二重积分的计算.ppt

六、作业 习题7-2 (158－160页) 2.(2)(3) 3.(1) 5.(1) 6.(3) 7.(3) 8.(1) 11.(2) 而 I2 = 是关于x的偶函数, 关于y的奇函数. 所以 D1 D2 D3 D4 今后在计算重积分利用对称性简化计算时, 注意 被积函数的奇偶性. 积分区域的对称性, 要特别注意考虑两方面: 三、在极坐标系下计算二重积分 即 也即 极坐标系中的面积元素 (1) 积分区域D: θ θ (2)积分区域D(曲边扇形): 极坐标系下区域的面积 (3) 积分区域D: 注 一般,在极坐标系下计算: θ 解 解 解 解 下次从此开始 解 解 二重积分在极坐标下的计算公式 （在积分中注意使用对称性） 小结 思考题 思考题解答 练 习 题 练习题答案 四、二重积分的换元法 例1 解 例2 解 小结 基本要求:变换后定限简便，求积容易． 五、小结 二重积分在直角坐标系下的计算 二重积分在极坐标系下的计算公式 (注意使用对称性) (注意正确选择积分次序, 掌握交换积分次序的方法) 恰当选择坐标系计算二重积分 (注意选择的原则) 一、二重积分的几何意义 二、在直角坐标系下计算二重积分 第二节 二重积分的计算 三、在极坐标系下计算二重积分 四、二重积分的换元法 五、小结 六、作业 (2) (3) (1) 在D上的二重积分就等于 二重积分是 二重积分是 而在其它的部分区域上是负的. 这些部分区域上的 柱体体积的代数和. 那末, 柱体体积的负值; 柱体体积; 在D上的若干部分区域上是正的, 一、二重积分的几何意义 二、在直角坐标系下计算二重积分 (1) 积分区域为： 其中函数 X－型 在区间 上连续. 计算截面面积 ( 红色部分即A(x0) ) ＊ 以D为底, 以曲面 为顶的曲顶柱体的体积. 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法. 用二重积分的几何意义说明其计算法 是区间 为曲边的曲边梯形. 为底, 曲线 是区间 为底, 曲线 为曲边 的曲边梯形. 有: ＊ 先对y后对x的二次积分 注： 也可以从二重积分的物理意义来理解上述 二次积分公式 细杆的质量 非均匀薄片的质量 (2) 积分区域为： Y－型 先对x后对y的二次积分 也即 其中函数 在区间 上连续. a b d c 计算结果一样. 又是Y型: (3)积分区域D既是X型: 但可作出适当选择. (4) 若区域如图, 在分割后的三个区域上分别使用积分公式. (用积分区域的可加性质) D1、D2、D3都是X型区域 则必须分割. 例1 （P88例2） 解1 将D看成X型区域 例1 （P88例2） 解2 将D看成Y型区域 D1 D2 第一种方法计算量小 解 解： 例4 对y的积分 而它对x的积分 交换积分次序的方法是: 改写D为: o x y 分析 所以将二次积分先 将所给的积分域 (1) (2) 画出积分域的草图 (3) 计算二次积分 不能用基本积分法算出, 可用基本积分法算出. 交换积分次序. 用联立不等式表示 D: o x y 解 积分区域如图 例 交换积分次序： 解 积分区域: 原式= 生物2010-04-16 解 原式 又是能否进行计算的问题. 计算二重积分时, 恰当的选取积分次序 十分重要, 它不仅涉及到计算繁简问题, 而且 凡遇如下形式积分: 等等, 一定要放在 后面积分. 解 解 (1)先去掉绝对值符号,如图 例5 先对y积分简单 D1 D2 D2 解 (2) 仿照(1)的方法，同时充分利用可加性 例5 先对y积分简单 D1 D2 D2 D1 例7（求体积）两个直交圆柱体在第一卦限相交所得的立体体积 解 曲面围成的立体如图. 补充 若区域D关于x轴对称, 若 f(x, y)关于y为偶函数 o x y D1 D1为D在第 一象限中的部分,则 二重积分的对称性质 二重积分的对称性 若f (x, y)关于y为奇函数 这个性质的几何意义如图: O x y z O x y z 区域D关于x轴对称 f(x,y)关于坐标y为偶函数 区域D关于x轴对称 f(x,y)关于坐标y为奇函数 若区域D关于y轴对称, 若 f(x, y)关于x为偶函数 同理： D1为D在第 一象限中的部分,则 若f (x, y)关于x为奇函数 o x y D1 设D为圆域(如图) 0 0 D1为上半圆域 D2为右半圆域 例. 解 由性质得 例 为顶点的三角形区域, (A