[理学]§5函数的凸性与拐点.ppt

返回 后页 前页 §5 函数的凸性与拐点 从两个熟悉的函数 的图象来看 凸性的不同： 的上方(下方) . 返回 如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号,则相应 定义1 设 f 为区间 I上的函数．若对于 I 上的任意 则称 f 为 I上的一个凸函数. 反之如果总有 则称 f 为 I 上的一个凹函数. 的函数称为严格凸函数和严格凹函数. 很明显，若 f (x)为(严格)的凸函数, 那么– f (x)就 引理 f (x)为区间 I上的凸函数的充要条件是： 为(严格) 凹函数，反之亦然. 从而有 因为 f (x)为 I 上的凸函数，所以 证 （必要性） 于是 整理后即为 (3) 式. 即 由于必要性的证明是可逆的，从而得到 （充分性）对于任意 则 所以 f 为 I 上的凸函数. 同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于 注 (4) 式与 (1) 式是等价的. 所以有些课本将 (4) 式 作为凸函数的定义. ( 参见下图 ) 詹森( Jensen,J.L. 1859-1925,丹麦 ) 对于凹函数，请读者自行写出相应的定理. 这是著名的詹森不等式 . 由数学归纳法不难证明：f 为 I 上的凸函数充要 (5) 式是凸函数最常用的不等式 . 即： 例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么它在 下面举例说明凸函数的内在性质. 证 上处处连续. (a, b) 中每一点的左、右导数存在. 特别是在 (a,b) 由引理得到 这就证明了F(h)有下界. 所以 注 开区间上的凸函数处处连续,但不一定处处可 导; 闭区间上的凸函数在端点不一定连续. 定理 6.13 设 f 为区间 I 上的可导函数, 则下述 注 (iii) 中的不等式表示切线恒在凸曲线的下方. 论断互相等价： 证 我们在这里再一次强调， 的切线位于曲线的下方. 于相应曲线段的上方;而它 义是:曲线 y = f (x) 的弦位 函数 f 是凸函数的几何意 点击上图动画演示 证 由定理 6.13 立即可得. 定理6.14 设 f (x) 在区间 I 上二阶可导，则 f (x) 我们在定理中列出了凸函数的三个等价性质. 对 理. 于凹函数也有类似的性质, 请大家写出相应的定 在区间I上是凸(凹)函数的充要条件为： 解 因为 例 2 (本例说明：在凸(凹)函数的条件下，可微函数的 极值点与稳定点是等价的.) 例 3 设函数 f (x)为 (a, b) 上的可导凸(凹)函数. 证 充分性是显然的(费马定理). 下面证明必要性. 由定理 6.13 的 (ii), 是递增的. 所以 设 f (x)是凸函数, x0 是 f (x) 的稳定点, (i) (ii) 极小值. 注 我们实际上已经证明，对于可微凸函数，其极 极值，并且是极小值. 证 应当注意，这里并没有假设函数 f (x) 的可微 例 4 此下面这个例题自然就产生了. 值总是极小值, 可微凹函数的极值总是极大值. 因 性，所以例 2 的方法就失效了. 对于任意　　　　　因为 f (x0) 是极小值，所以 又因为 f(x0) 是严格凸函数，所以 同理可证：对于任意　　　　　仍有 f (x0) f (x) . 存在　　　　　　使得 同时成立, 矛盾.所以极值点惟一. 设 f (x) 有另一极小值 　　 . 根据以上讨论，把 　 和 x0 分别看作极值点时, 有 均为正数. 詹森不等式 例 5 证 即 又因 故有 再由对数函数是严格增的，就证得 的严格凹函数，所以有 例 6 图中所示的M 是一个拐点. 定义2 曲线的切线，并且切线的两侧分别 M 是严格凸和严格凹的，这时称 下面两个定理是显然的. 定理6.15 定理6.16 但根据定义2, 点(0, 0) 却是曲线 -2 -1 O 1 2 -1 1 复习思考题 1. 两个凸函数的乘积是否是凸函数 ? 2. 两个凸函数的复合是否是凸函数 ? 3. 任选一个凸函数, 利用詹森不等式构造出新的 不等式.