[理学]丁玉美数字信号处理第三章12012.ppt

x(n) x(n) m x(m) 5 1 0 4 n 5 §3.2 DFT的基本性质 x(n) x(n) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m x(m) 0 1 2 3 5 6 7 8 9 m 4 10 §3.2 DFT的基本性质 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n x(n) x(n) 10 §3.2 DFT的基本性质 离散傅里叶变换的导出 由于数字计算机只能计算有限长离散的序列，因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要 Z变换和傅里叶变换无法直接利用计算机进行数值计算 针对有限长序列“时域有限”这一特点，导出一种更有用的离散傅里叶变换DFT (Discrete Fourier Transform)。 3.2.1 离散傅里叶变换的定义 离散傅里叶正变换(DFT)定义 0≤k≤N -1 0≤n ≤N -1 x(n)长度为N，其x(n)的N点离散傅里叶变换为： 离散傅里叶反变换(IDFT)定义 N称为DFT变换区间长度， 例3.1 ：设有限长序列为x(n)=R4(n)，求x(n) 的傅里叶变换，以及4点、8点、16点DFT。 解（1）x(n)的傅里叶变换 （2）x(n)的4点DFT 例：离散傅里叶变换 （3）x(n)的8点DFT k=0，1，…，7 （4）x(n)的16点DFT k=0，1，…，15 例3.1 ：设有限长序列为x(n)=R4(n)，求x(n) 的傅里叶变换，以及4点、8点、16点DFT。 * 例3. 1 的图形显示 同一序列不同点数的DFT是不相同的 x(n)的N点DFT 是x(n)的傅里叶变换X(ejw)在区间[0，2π]上的N点等间隔取样 证明 令n + m =n，则有 时域循环移位定理证明 若 则 设 是x(n)的复共轭序列，长度为N 则 且 同理 四、复共轭序列的DFT §3.2 DFT的基本性质 说明： DFT中涉及的序列 x(n)及其 DFT X(k) 均为有限长序列，且定义区间为 [0 N-1]，这里的对称性是指关于 N/2 点的对称性。 五、DFT的共轭对称性 §3.2 DFT的基本性质 序列的对称性概念 复习：共轭对称序列 若 则称 为共轭对称序列。 结论：共轭对称序列其实部是偶函数，虚部为奇函数。共轭反对称序列其实部是奇函数，虚部为偶函数。 同理共轭反对称序列满足 §3.2 DFT的基本性质 有限长共轭对称序列 当n为偶数时，将上式中的n换成N/2-n,得 1 . 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 §3.2 DFT的基本性质 n n 0 1 2 3 4 5 6 7 §3.2 DFT的基本性质 任一有限长序列x(n)可以表示如下 其中， §3.2 DFT的基本性质 其中 则 2. DFT的共轭对称性 §3.2 DFT的基本性质 （1）如果 （2）如果 其中 则 §3.2 DFT的基本性质 总结 如果x(n)的DFT为X(k)， 则 x(n)的实部和虚部（包括j）的DFT分别为X(k)的共轭对称分量和共轭反对称分量； x(n)的共轭对称分量和的共轭反对称分量的DFT分别为X(k)的实部和虚部乘以j； DFT的共轭对称性 §3.2 DFT的基本性质 重要性质 当x(n)为长度为N的实序列时，且X(k)=DFT[x(n)], 则 §3.2 DFT的基本性质 引言 DFT的实质 有限长序列的傅立叶变换的有限点离散采 样——频域离散化方法。 DFT存在许多快速算法FFT,所以DFT在各种数字信号处理算法中起着核心作用。 一、傅立叶变换的几种可能形式 时域(连续、非周期) 频域(非周期、连续) t 0 0 1 . 连续非周期函数的傅立叶变换 0 t 2. 连续周期函数的傅立叶变换 2.连续周期函数的傅立叶变换 时域(连续、周期 ) 频域(非周期、离散) 其中， 为离散谱线的间隔，k为谐波序号。 序列的傅立叶变换是单位圆上的Z变换， 因为 是?的周期函数，所以 也是 ? 的周期函数，周期为 3.序列的傅立叶变换 0 n 1 2 -1 -2 时域（离散、非周期） 频域（周期、连续） 3.序列的傅立叶变换 4.离散傅立叶级数 时域、频域都是离散的、周期的 t 时域（离散、周期） 频域（周期、离散） 说明： 一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓； 这一变换是针对有限长序列或周期序列才存在； 它相当于把序列的连续傅立叶变换加以离散化而形成的； 因为离散变换本质上都是周期的，所以我们先讨论了周期性序列